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基于多速率事件触发控制的重介分选密度调控

doi: 10.7641/CTA.2024.20883

1. 中国矿业大学信息与控制工程学院, 江苏徐州 221116

2. 中国矿业大学国家煤加工与洁净化工程技术研究中心, 江苏徐州 221116

基金项目: 国家自然科学基金项目(61973306), 江苏省自然科学基金项目(BK20200086), 江苏省研究生科研与实践创新计划项目(KYCX22 2559), 中国矿业大学研究生创新计划项目(2022WLJCRCZL100)资助.

详细信息

作者简介

杨翊卓硕士研究生,目前研究方向为复杂工业过程的优化与控制、事件触发等,E-mail: yangyizhuocumt@126.com;

王兰豪博士,副教授,目前研究方向选煤/选矿生产全流程优化决策与智能控制方法及其应用等,E-mail: wanglanhao888@163.com;

张淇瑞博士,副教授,目前研究方向为信息物理系统安全与隐私、工业控制系统和模型预测控制等,E-mail: qiruizhang@cumt.edu.cn;

胡梦洁博士,副教授,目前研究方向为无人车智能网络化控制、车辆悬架系统控制、混杂系统分析等,E-mail: mengjiehu@cumt.edu.cn;

代伟博士,教授,博士研究生导师,目前研究方向为人工智能驱动的复杂流程工业运行优化控制方法、实验验证系统研制、技术研发及应用等,E-mail: weidai@cumt.edu.cn.

通信作者

代伟，E-mail: weidai@cumt.edu.cn;Tel.:+8613952235853

Density regulation of dense medium separation with multi-rate event-triggered control

YANG Yi-zhuo¹ ， WANG Lan-hao² ， ZHANG Qi-rui¹ ， HU Meng-jie¹ ， DAI Wei¹

1. School of Information and Control Engineering, China University of Mining Technology, Xuzhou Jiangsu 221116 , China

2. National Engineering Research Center of Coal Preparation and Purification, China University of Mining and Technology, Xuzhou Jiangsu 221116 , China

Funds: Supported by the National Natural Science Foundation of China (61973306), the Natural Science Foundation of Jiangsu Province (BK20200086), the Postgraduate Research & Practice Innovation Program of Jiangsu Province (KYCX22 2559) and the Graduate Innovation Program of China University of Mining and Technology (2022WLJCRCZL100).

摘要

悬浮液密度的稳定控制是保证重介分选精煤质量的重要手段, 本文着重考虑重介分选密度回路多速率采样控制的实际生产情况, 提出一种基于多速率事件触发控制的重介分选密度调控方法. 首先通过提升技术与基于连续学习的多速率辨识方法建立密度回路多速率模型, 进而设计基于事件触发机制的模型预测控制器, 使密度回路能够在保证控制性能的前提下, 减少控制器的更新次数, 从而减少通讯资源的浪费. 通过仿真验证了本文所提控制方法的有效性. 该研究成果为工业互联网环境下的重介分选密度控制器设计提供了新方法.

关键词

重介质选煤 / 事件触发 / 多速率 / 模型预测控制

Abstract

The stable control of suspension density is an important means to ensure the quality of dense medium separation fine coal. This paper focuses on the actual production of multi-rate sampling control of density loop, and proposes a dense medium separation density control method based on multi-rate event-triggered control method. Firstly, lifting technology and a multi-rate identification method based on continuous learning is adopted to construct the multi-rate model of density loop. Next, a model predictive controller based on event-triggered mechanism is designed, so that the density loop can reduce the updating times of controller on the premise of ensuring control performance, so as to reduce the waste of communication resources. The simulation results show the effectiveness of proposed control method. The study provides a new method for the design of dense medium separation density controller in industrial internet framework.

Keywords

dense medium coal preparation / event-triggered / multi-rate / model predictive control

1 引言 2 重介分选密度回路过程描述 3 基于提升技术的多速率建模方法 3.1 基于提升技术的多速率处理方法 3.2 基于连续学习的多速率辨识方法 4 基于事件触发的模型预测控制器控制器设计 4.1 事件触发机制 4.2 控制器设计 5 仿真实验 6 结论

1 引言

重介分选（dense medium separation，DMS）是目前最流行、最有效的选煤技术之一 ^[1] . 其原理是通过混合原煤和重介质悬浮液形成混合矿浆，再将混合矿浆送入重介质旋流器，由于离心力，密度较低的矿物上升，形成精矿矿浆; 密度较高的矿物下沉，形成尾矿矿浆 ^[2] . 对重介质悬浮液密度的控制直接影响分选过程的效率和选煤厂的经济效益.

早期的学者针对重介质密度控制系统进行了探索性的研究，建立了其数学模型，并设计了一种自适应控制算法，但其在建模时将部分参数当做常量处理，有一定局限性 ^[3] . 文献 ^[4] 根据重介分选原理，建立了重介质选煤过程的通用数学模型，其模型是一个双变量耦合时变的非线性模型. 并根据该模型设计了自校正控制器，通过仿真实验和选煤厂的实际应用表明该方法比传统的PID控制方法具有更好的控制效果. 文献 ^[5] 根据第一原理，研究了不同的设备的机理模型，并提出了模型参数的估计方法. 文献 ^[6] 针对重介分选过程提出了一种基于模型的控制方法，该方法以原煤质量作为前馈量，以系统输出为反馈量，提高了控制器的鲁棒性. 文献 ^[7] 进一步提出了一种重介分选控制策略，使得系统在保证控制性能的前提下，降低分选过程的能量消耗. 文献 ^[8] 针对重介分选密度回路，考虑直接操控底层控制器，即直接控制给水装置和给介装置，从而实现重介质悬浮液密度的跟踪控制. 近几年，也有一些智能控制算法被应用于重介分选过程. 例如，文献 ^[9] 提出了一种自适应最优跟踪控制方法，该方法考虑了重介分选密度回路的非线性特点，设计了基于神经网络的未建模动态补偿器，并与PI控制器相结合，形成了非线性自适应PI控制器. 文献 ^[10] 针对悬浮液密度与介质桶液位的强耦合特性，将前馈补偿和解耦控制相结合，以实现密度和液位的协调控制.

随着工业互联网的发展，选煤厂要求采集视频、图像等更多元化的信号，这使得设备间的数据传输量显著增加. 上述文章的控制方法都是传统的时间触发方法，其具有固定的采样周期，且需要设备间进行实时的数据传输，浪费了系统的通信资源 ^[11-12]，给选煤厂的实时通讯带来了巨大的负担. 事件触发控制方法在 20世纪90年代末期被提出 ^[13-14]，其核心思想是通过设计事件触发机制，使系统的控制器进行非周期性的更新. 这种控制方法不依赖设备间的实时通讯，而是按“需”更新控制器，仅在必要时传输信号，进而极大的减少了系统的通讯量 ^[15] .

近些年，诸多学者研究了事件触发控制方法. 文献 ^[16] 针对连续时间线性系统，提出了一种基于事件触发机制的输出反馈自适应控制方法. 该方法利用数据重构了不可测状态，并设计了一种基于事件的反馈策略，以减少控制器的更新次数. 文献 ^[17] 针对连续时间非线性系统，提出了一种数据驱动的事件触发跟踪控制方法，该方法通过递归神经网络建立数据驱动模型，并设计了基于事件触发的自适应动态规划控制方法以减少计算量. 文献 ^[18] 解决了事件触发方法下两次连续传输之间存在最短时间间隔的问题. 该方法基于时间触发系统的稳定性，计算出了一个固定的时间间隔. 在上次传输后，经过该时间间隔才能再一次触发控制器. 文献 ^[19] 设计了一种包括自适应事件触发和时间触发的混合机制，该机制可以根据系统的运行状态进行切换，进一步提高了系统资源的利用率. 文献 ^[20] 针对控制输入受限的离散时间非线性系统，研究了事件触发最优控制方法，该方法在控制输入受限的情况下，设计了事件触发启发式动态规划方法以得到最优控制策略，显著降低了计算和传输负载.

上述事件触发控制算法均为传统的单速率控制方法，但是在重介分选密度回路中，对输出值（重介质悬浮液密度）的采样受硬件限制，导致输出的采样周期较大，而为了获得更好暂态性能 ^[21]，通常设置输入（给水阀门开度）控制周期小于输出采样周期. 密度回路呈现多速率的特性. 此外，由于密度回路不可避免的存在设备老化、磨损以及生产环境变化等问题，导致重介分选密度回路的模型参数呈现慢时变的特性，如果以固定参数设计控制器，无法取得期望的控制性能，因此必须设计在线辨识多速率模型参数的算法.

重介分选系统中，由于给水阀门的开度受硬件限制，且重介质悬浮液密度存在约束，因此需采用具有约束处理能力的控制算法. 模型预测控制方法由于能够直接处理输入/输出约束，且滚动时域的特性可以增强系统在线处理干扰及不确定性的能力 ^[22]，因此在工业领域取得了广泛的应用. 例如，20世纪80年代所提出的二次动态矩阵控制（quadratic dynamic matrix control，QDMC）方法，通过在优化问题中引入了二次规划（quadratic programming，QP），使算法具有了处理约束的能力，并且在实际应用中表现出了良好的性能 ^[23] .

基于以上分析，本文提出了一种针对重介分选密度回路的多速率事件触发控制方法. 该方法首先采用提升技术和基于连续学习的多速率辨识方法建立重介分选密度回路的模型，并在此基础上设计了基于事件触发机制的模型预测控制器，使控制器仅在必要时更新，减小了系统的通信负担. 最后，采用实际数据对重介分选密度回路进行了仿真实验，验证了算法的有效性.

2 重介分选密度回路过程描述

重介分选工艺流程图如图1所示.

考虑到实际重介分选密度回路的循环损耗，仅有部分重介质能够被回收. 因此，为了简化重介分选密度回路模型，文献 ^[8] 做了如下假设:

1）回收矿浆中有β的重介质将进入磁选机进行回收，即旋流器到磁选机之间的回收率为β;

2）进入磁选机中的重介质有γ流入合格介质桶，即磁选机到合格介质桶之间回收率为γ;

3）磁选机内部延迟忽略不计;

4）磁选机出口的的重介质具有稳定的密度ρ_rm.

相较于实际分选过程，该假设主要以比例形式假设了设备间的损耗，并且忽略了设备的时延，并不影响重介分选的过程特性分析.

回收矿浆的重介质体积流量

Q_{m}^{p}

为

Q_{m}^{p} = \frac{Q_{m} (ρ_{m} - ρ_{w})}{ρ_{m}^{p} - ρ_{w}},

(1)

其中:

ρ_{m}^{p}

代表回收矿浆中重介质密度，Q_m代表重介质悬浮液体积流量，ρ_m代表重介质悬浮液密度，ρ_w代表水的密度.

图1重介分选工艺流程图

Fig.1Flow chart of DMS process

进入磁选机中的重介质的质量流量m_m为

m_{m} = β Q_{m}^{p} ρ_{m}^{p} = \frac{β ρ_{m}^{p} Q_{m} (ρ_{m} - ρ_{w})}{ρ_{m}^{p} - ρ_{w}} .

(2)

从磁选机流入合格介质桶的重介质体积流量 Q_rm为

Q_{r m} = \frac{γ m_{m}}{ρ_{r m}} = \frac{γ β ρ_{m}^{p} Q_{m} (ρ_{m} - ρ_{w})}{ρ_{r m} (ρ_{m}^{p} - ρ_{w})} .

(3)

在实际重介分选过程中，悬浮液密度主要是通过补充水和高浓度介质来调节的，其中，通过调节补水阀的开度可以调节补加水的体积流量Q_w，关系如下:

Q_{w} = \sqrt{\frac{Δ P}{ρ_{w}}} C_{w} l_{w},

(4)

其中: ∆P代表通过阀门的压降，C_w代表阀门系数，l_w 是以百分比表示的阀门开度.

调节密度的磁性物是电机驱动的输送带补充的，其体积流量Q_mm与电机转速关系如下:

Q_{m m} = Q_{1} N \frac{ρ_{m m}}{ρ_{m}^{p}},

(5)

其中: Q₁代表输送带的系数，N代表电机转速，ρ_mm 表示磁铁矿的体积密度.

重介质悬浮液密度由下式描述 ^[2] :

\begin{matrix} {\dot{ρ}}_{m} = - \frac{Q_{m}}{V_{cor}} ρ_{m} + \frac{Q_{r m}}{V_{cor}} ρ_{r m} + \\ \frac{Q_{m m}}{V_{cor}} ρ_{m}^{p} + \frac{Q_{w}}{V_{cor}} ρ_{w}, \end{matrix}

(6)

{\dot{V}}_{c o r} = Q_{r m} + Q_{m m} + Q_{w} - Q_{m},

(7)

其中V_cor表示桶中重介质悬浮液的体积.

在实际生产过程中，电机转速通常变化不大，则输送带所运输的磁性物的量较为恒定. 此外，由于合格介质桶体积固定，重介质悬浮液的体积在未超出容积上限时通常不被视为被控量. 综上所述，重介分选密度回路可以视为以给水阀门开度为输入，以重介质悬浮液密度为输出的单输入单输出系统.

3 基于提升技术的多速率建模方法

3.1 基于提升技术的多速率处理方法

考虑以h为基周期的重介分选密度回路过程模型

\{\begin{matrix} x (k + 1) = A (k) x (k) + B (k) u (k), \\ y (k) = C (k) x (k) + D (k) u (k), \end{matrix}

(8)

其中: x表示重介分选密度回路过程状态; u为重介分选密度回路控制输入，即给水阀门开度; y为重介分选密度回路输出，即重介质悬浮液密度; A（k），B（k），C（k）和D（k）为重介分选密度回路过程的模型参数.

定义控制周期T_a = ah，采样周期T_b = bh， a小于 b且互为质数. 定义框架周期T₀=abh为T_a和T_b的最小公倍数.

如图2所示，对系统（8）采用提升技术，分别将b个控制输入向量堆叠，a个输出向量堆叠，形成

\bar{u}

和

\bar{y}

，即通过增维的方法将其周期均统一至框架周期T₀. 具体过程如下:

\bar{u} (m) = L_{b} u (m T_{0}) = [\begin{matrix} u (m T_{0}) \\ u (m T_{0} + T_{a}) \\ ⋮ \\ u (m T_{0} + (b - 1) T_{a}) \end{matrix}],

\bar{y} (m) = L_{a} y (m T_{0}) = [\begin{matrix} y (m T_{0}) \\ y (m T_{0} + T_{b}) \\ ⋮ \\ y (m T_{0} + (a - 1) T_{b}) \end{matrix}],

其中m表示框架周期T₀下的拍数.

采用提升技术后的重介分选密度回路状态空间模型如下:

\{\begin{matrix} x (m + 1) = \bar{A} (m) x (m) + \bar{B} (m) \bar{u} (m), \\ \bar{y} (m) = \bar{C} (m) x (m) + \bar{D} (m) \bar{u} (m), \end{matrix}

(9)

其中

\bar{A}

（m），

\bar{B}

（m），

\bar{C}

（m），

\bar{D}

（m）是提升后系统的参数矩阵，具体推导过程同文献 ^[18] .

3.2 基于连续学习的多速率辨识方法

在实际重介分选过程中，各模型参数会随着生产环境改变而发生变化，具有慢时变的特性 ^[24]，因此需要设计多速率模型参数在线辨识方法.

将式（9）写为

Z (m) = θ (m) X (m),

(10)

其中:

Z （ m ） = [\begin{matrix} x （ m + 1 ） \\ \bar{y} （ m ） \end{matrix}] ， X （ m ） = [\begin{matrix} x （ m ） \\ \bar{u} （ m ） \end{matrix}] ， θ （ m ） = [\begin{matrix} \bar{A} （ m ） \bar{B} （ m ） \\ \bar{C} （ m ） \bar{D} （ m ） \end{matrix}] .

图2多速率采样系统采样周期规律

Fig.2Sampling period law of multi-rate sampling system

传统的多速率辨识方法为递推最小二乘算法 ^[25]，但是，随着递推次数和数据的增加，参数会出现数据饱和现象，即经过长时间的辨识，增益矩阵会越来越小，导致新采样数据对参数的修正作用减弱. 如果出现新的运行工况，递推最小二乘算法不能快速的辨识出准确的系统参数. 因此，本文提出一种基于连续学习的多速率辨识方法.

考虑如下目标函数:

\begin{matrix} J = \frac{1}{2} ‖ Z (m) - \hat{θ} (m) X (m) ‖^{2} + \\ \frac{1}{2} α ‖ \hat{θ} (m) - \hat{θ} (m - 1) ‖^{2}, \end{matrix}

(11)

其中: α为权值系数，

\hat{θ}

为参数矩阵的估计值.

由式（11）可以看出，本文所提方法在目标函数中设计了一个L₂融合项，用于约束辨识参数的变化. 历史参数矩阵

\hat{θ}

（m − 1）中包含了从历史数据中通过参数辨识学到的大量模型知识，通过L₂融合项的约束，可以使系统在利用新过程数据进行参数辨识时，既保证了历史知识不被遗忘，又能够有效利用含有新息的在线运行数据，本文将这种在保持原有知识的同时不断学习新知识的方法叫做连续学习. 此外，所提出方法可通过调整权值系数α有效控制对历史辨识参数信息的利用程度. 考虑到DMS过程是一个缓慢的时变过程，系统参数是缓慢变化的，因此权值系数α不应设置的太小，避免识别过程中相邻时间系统辨识参数的剧烈变化，同时避免了由于数据饱和所导致的辨识算法失效的问题.

式（11）对

\hat{θ} （ m ）

求导可得

\begin{matrix} \hat{θ} (m) = (α \hat{θ} (m - 1) + Z (m) X^{T} (m)) \times \\ {(X (m) X^{T} (m) + α)}^{- 1} . \end{matrix}

(12)

4 基于事件触发的模型预测控制器控制器设计

本章设计多速率事件触发机制，并将其与模型预测控制方法相结合，其整体控制策略如图3所示.

4.1 事件触发机制

在事件触发控制中，假设

{\{m_{s}\}}_{s = 0}^{\infty}

为触发序列， s 表示触发时刻的顺序，控制器在触发时刻m_s处更新控制策略并保持恒定，直到下一更新时刻m_s₊₁.

首先，对重介质悬浮液密度设定值w（k）采用提升技术，将其维度提升至与

\bar{y} （ m ）

相同，即

w (m) = L_{a} w (m T_{0}) = [\begin{matrix} w (m T_{0}) \\ w (m T_{0} + T_{b}) \\ ⋮ \\ w (m T_{0} + (a - 1) T_{b}) \end{matrix}],

其中w（m_s）是第s个触发时刻的设定值，即上一触发时刻的设定值.

定义跟踪误差如下:

d (m) = \bar{y} (m) - w (m)

(13)

定义误差v（m）为

v (m) = \bar{y} (m) - w (m_{s}) .

(14)

定义事件触发误差为

e (m) = v (m) - d (m) .

(15)

对于系统（8），定义事件触发阈值为

e_{T} = (\frac{1}{μ} - 1) ‖ d (m) ‖,

(16)

其中µ是待设计的系数.

本文提出一个事件触发条件组，由两个事件触发条件构成

‖ e (m) ‖ > e_{T} (m),

(17)

‖ d (m + 1 ∣ m) ‖ > μ ‖ e (m) ‖ + μ ‖ d (m) ‖,

(18)

其中d（m + 1 |m）表示下一时刻的跟踪误差估计值.

当式（17）和式（18）至少有一个成立时，满足事件触发机制，控制器更新，并将更新后的控制律及当前时刻的设定值保存在零阶保持器（zero-order holder，ZOH）中. 当式（17）和式（18）都不成立时，事件触发机制不满足，控制律仍为ZOH中保存的控制律，系统无需再向执行机构传输指令，减小重介分选系统中的通信量.

接下来分析事件触发机制的性能. 定义李雅普诺夫函数为

L (m) = d^{T} (m) d (m) + u^{T} (m) u (m),

(19)

其一阶差分方程为

\begin{matrix} Δ L (m) = \\ d^{T} (m + 1) d (m + 1) + d^{T} (m) d (m) + \\ u^{T} (m + 1) u (m + 1) - u^{T} (m) u (m) . \end{matrix}

(20)

图3基于事件触发的模型预测控制器控制策略

Fig.3Event-triggered control strategy of MPC

当触发条件式（17）和式（18）均不满足时，事件未被触发，控制策略不更新，则Lyapunov函数的一阶差分方程可以简化为

\begin{matrix} Δ L (m) = d^{T} (m + 1) d (m + 1) - \\ d^{T} (m) d (m) \end{matrix}

(21)

由于式（18）不满足，故

‖ d (m + 1 ∣ m) ‖ ⩽ μ ‖ e (m) ‖ + μ ‖ d (m) ‖ .

(22)

将式（22）代入式（20），可以得到

\begin{matrix} Δ L (m) ⩽ (μ ‖ e (m) ‖ + μ ‖ d (m) ‖)^{2} - \\ ‖ d (m) ‖^{2} . \end{matrix}

(23)

由于式（17）不满足，可以得到

‖ e (m) ‖ ⩽ (\frac{1}{μ} - 1) ‖ d (m) ‖ .

(24)

将式（24）代入式（23）中，可以得到

Δ L (m) ⩽ 0

(25)

由上式可知，当不等式（17）和式（18）均不成立时，不更新控制策略，所提事件触发机制能够保证系统的Lyapunov函数是递减的.

4.2 控制器设计

针对重介分选系统（8），考虑如下约束:

u_{m i n} (k) ⩽ u (k) ⩽ u_{m a x} (k),

(26)

y_{m i n} (k + 1) ⩽ y (k + 1 ∣ k) ⩽ y_{m a x} (k + 1),

(27)

其中: u_min和u_max表示给水阀门开度约束的上下界，y_min和y_max表示重介质悬浮液密度约束的上下界.

对上述约束采用提升技术，则系统（9）满足如下约束:

{\bar{u}}_{m i n} (m) ⩽ \bar{u} (m) ⩽ {\bar{u}}_{m a x} (m),

(28)

\begin{matrix} {\bar{y}}_{m i n} (m + 1) ⩽ \bar{y} (m + 1 ∣ m) ⩽ \\ {\bar{y}}_{m a x} (m + 1) . \end{matrix}

(29)

本文采用模型预测控制器（model predictive control，MPC）设计控制器，预测时域和控制时域均设为1，根据式（9）可得到预测模型为

\begin{matrix} x (m + 1 ∣ m) = \bar{A} (m) x (m) + \bar{B} (m) \bar{u} (m), \\ \bar{y} (m + 1 ∣ m) = \end{matrix}

(30)

\begin{matrix} \bar{C} (m) \bar{A} (m) x (m) + \\ \bar{C} (m) \bar{B} (m) \bar{u} (m) + \bar{D} (m) \bar{u} (m + 1) \end{matrix}

(31)

注 1 本文中的预测时域与控制时域均是以框架周期为时间尺度，即本文设置预测时域和控制时域均为1，等同于单速率系统下多步预测控制，且预测时域为bT_a，控制时域为 aT_b .

由于在重介分选密度回路过程时间尺度较小，通常为秒级或毫秒级，前后相邻两个时刻系统变化不大，因此，近似认为

\bar{u} （ m ）

\bar{u}

（m + 1），则上式可改写为

\begin{matrix} \bar{y} (m + 1 ∣ m) = \\ S_{x} (m) x (m) + S_{u} (m) \bar{u} (m), \end{matrix}

(32)

其中:

S_{x} （ m ） = \bar{C} （ m ） \bar{A} （ m ） ， S_{u} （ m ） = \bar{C} （ m ） \bar{B} （ m ） + \bar{D} （ m ） .

由于在重介分选过程中，

\bar{u}

直接影响生产过程的能耗，因此在保证重介质悬浮液密度跟踪性能的前提下，希望

\bar{u}

的值尽可能的小，故选用如下性能指标函数:

\begin{matrix} J_{m p c} = {‖Γ_{\bar{y}} (\bar{y} (m + 1 ∣ m) - w (m + 1))‖}^{2} + \\ {‖Γ_{\bar{u}} \bar{u} (m)‖}^{2}, \end{matrix}

(33)

其中

Γ_{\bar{y}}

和

Γ_{\bar{u}}

为加权因子.

\begin{matrix} Γ_{\bar{y}} : = d i a g \{Γ_{{\bar{y}}_{1}}, Γ_{{\bar{y}}_{2}}, \dots, Γ_{{\bar{y}}_{N_{y}}}\}, \\ Γ_{\bar{u}} : = d i a g \{Γ_{{\bar{u}}_{1}}, Γ_{{\bar{u}}_{2}}, \dots, Γ_{{\bar{u}}_{N_{u}}}\}, \end{matrix}

则优化问题为

\underset{\bar{u} (m)}{m i n} J_{m p c} (x (m), \bar{u} (m)),

s.t. \{\begin{matrix} {\bar{u}}_{min} (m) ⩽ \bar{u} (m) ⩽ {\bar{u}}_{max} (m), \\ {\bar{y}}_{min} (m + 1) ⩽ \\ \bar{y} (m + 1 ∣ m) ⩽ {\bar{y}}_{max} (m + 1) . \end{matrix}

(34)

将预测方程（32）代入性能指标函数（33），并定义

\begin{matrix} E (m + 1 ∣ m) = \\ w (m + 1) - S_{x} (m) x (m) \end{matrix}

(35)

则性能指标函数变为

\begin{matrix} J_{m p c} = {‖Γ_{\bar{y}} (S_{u} (m) \bar{u} (m) - E (m + 1 ∣ m))‖}^{2} + \\ {‖Γ_{\bar{u}} \bar{u} (m)‖}^{2} = \\ {\bar{u}}^{T} (m) S_{u}^{T} (m) Γ_{\bar{y}}^{T} Γ_{\bar{y}} S_{u} (m) \bar{u} (m) + \\ {\bar{u}}^{T} (m) Γ_{\bar{u}}^{T} Γ_{\bar{u}} \bar{u} (m) - \end{matrix}

\begin{matrix} 2 E^{T} (m + 1 ∣ m) Γ_{\bar{y}}^{T} Γ_{\bar{y}} S_{u} (m) \bar{u} (m) + \\ E^{T} (m + 1 ∣ m) Γ_{\bar{y}}^{T} Γ_{\bar{y}} E (m + 1 ∣ m), \end{matrix}

(36)

其中

E^{T} （ m + 1 ∣ m ） Γ_{\bar{y}}^{T} Γ_{\bar{y}} E （ m + 1 ∣ m ）

与变量

\bar{u} （ m ）

无关，因此性能指标函数可改写为

\begin{matrix} {\overset{⏜}{J}}_{m p c} = {\bar{u}}^{T} (m) K (m) \bar{u} (m) - \\ H^{T} (m + 1 ∣ m) \bar{u} (m), \end{matrix}

(37)

其中:

K （ m ） = S_{u}^{T} （ m ） Γ_{\bar{y}}^{T} Γ_{\bar{y}} S_{u} （ m ） + Γ_{\bar{u}}^{T} Γ_{\bar{u}} H （ m + 1 ∣ m ） = 2 S_{u}^{T} （ m ） Γ_{\bar{y}}^{T} Γ_{\bar{y}} E （ m + 1 ∣ m ） .

考虑给水阀门开度约束，可将式（28）写为

ϕ \bar{u} (m) ⩾ [\begin{matrix} - {\bar{u}}_{max} (m) \\ {\bar{u}}_{min} (m) \end{matrix}],

(38)

其中:

ϕ = [\begin{matrix} - I \\ I \end{matrix}] ， I = d i a g {1 ， \dots ， 1} \in R^{b \times b} .

考虑重介质悬浮液密度约束，将式（32）代入式（29）中可得

\{\begin{matrix} - S_{u} (m) \bar{u} (m) ⩾ - {\bar{y}}_{m a x} (m + 1) + S_{x} (m) x (m), \\ S_{u} (m) \bar{u} (m) ⩾ {\bar{y}}_{m i n} (m + 1) - S_{x} (m) x (m) . \end{matrix}

上式可写为

φ (m) \bar{u} (m) ⩾ [\begin{matrix} - {\bar{y}}_{max} (m + 1) + S_{x} (m) x (m) \\ {\bar{y}}_{min} (m + 1) - S_{x} (m) x (m) \end{matrix}],

(39)

其中

φ （ m ） = [\begin{matrix} - S_{u} （ m ） \\ S_{u} （ m ） \end{matrix}]

综合式（37）–（40），约束MPC问题可转化为如下QP 问题:

\begin{matrix} \underset{\bar{u} (m)}{m i n} {\bar{u}}^{T} (m) K (m) \bar{u} (m) - \\ H^{T} (m + 1 ∣ m) \bar{u} (m) \\ s . t . L (m) \bar{u} (m) ⩾ Q (m + 1 ∣ m) \end{matrix}

(40)

其中:

\begin{matrix} L (m) = {[\begin{matrix} ϕ & φ \end{matrix}]}^{- 1}, \\ Q (m + 1 ∣ m) = [\begin{matrix} - {\bar{u}}_{m a x} (m) \\ {\bar{u}}_{m i n} (m) \\ - {\bar{y}}_{m a x} (m + 1) + S_{x} (m) x (m) \\ {\bar{y}}_{m i n} (m + 1) - S_{x} (m) x (m) \end{matrix}] . \end{matrix}

文献 ^[26] 已证明了当K（m）≥ 0时，QP问题（41）对任何加权矩阵

Γ_{\bar{u}} ⩾ 0 ， Γ_{\bar{y}} ⩾ 0

均有解u（m），且u（m）是与状态值、模型及输入输出约束有关的非线性函数. 在下一个框架周期，将采用新的状态值及模型刷新约束优化问题（34）即QP问题（41），并重新求解.

注 2 本文所设计的多速率模型预测控制器通过求解不等式约束QP问题以获得控制律，通过后续的实验研究，系统虽然能够实现分选密度的稳定跟踪控制，但由于未考虑终端约束问题，从而相邻框架周期的优化问题及信息不重合 ^[27]，使得建立相邻框架周期性能指标函数之间的不等式关系 ^[28] 较为困难，给稳定性分析带来挑战. 值得注意的是，在本文所提出的控制框架下，此部分控制器的设计不限于本文方法，其他性能更优、更鲁棒的模型预测控制方法稍微调整均可应用于此，以更好地保证系统的稳定性.

本文旨在解决工业互联网背景下重介分选系统通信资源浪费的问题，因此控制器部分仅采用传统的设计方法. 在此基础上，众多学者对约束MPC的稳定性进行了进一步的研究，提出了带有终端等式约束 ^[29]、采用终端代价函数 ^[30] 和带有终端约束集 ^[31] 等处理方法的稳定MPC算法，可供读者参考.

5 仿真实验

本文采用第2节中式（1）–（7）所建立的重介分选密度回路仿真模型，其初始模型参数参照文献 ^[5]，如表1所示.

表1重介分选密度回路动态模型参数

Table1Parameters of density loop dynamic model of DMS process

将上述参数代入式（6）可得

{\dot{ρ}}_{m} = 0.0825 ρ_{m} - l_{w} + 1011.5 .

(41)

将其离散化为式（8）的形式为

ρ_{m} (k + 1) = 1.0825 ρ_{m} (k) - l_{w} (k) + 1011.5 .

(42)

由于设备老化或工作环境发生变化，Q_m在0.48∼ 0.52范围内缓慢变化. 将控制周期T_a设置为 2 s，采样周期T_b设置为3 s，则基周期h为1 s，框架周期 T₀为6 s. 事件触发机制中，参数µ设为0.6. 通过多次仿真实验，选取其中最优跟踪效果所对应的控制器参数作为本文的控制器参数: 式（33）中的

Γ_{\bar{y}} = d i a g {0.006，0.006，0.006} ， Γ_{\bar{u}} = d i a g {0.6，0.6，0.6} ， α = d i a g \{10^{4} ， 10^{4} ， 10^{4} ， 10^{4}\} .

在实际重介分选过程中，重介质悬浮液密度的设定值是以精煤灰分为指标进行优化，而在线灰分检测仪通常每5 min读取一次精煤灰分值，则悬浮液密度设定值也每5 min进行一次动态调整. 因此，在本文仿真部分，为模拟工业现场实际情况，设置悬浮液密度设定值每300 s变化一次，且在1495∼1510 kg/m³之间波动. 式（26）中的约束设置为 45 ≤ u ≤ 65，1490 ≤ y≤ 1515.

采用本文方法的重介分选密度控制效果如图4–5 所示. 图4为采用本文方法的重介质悬浮液密度控制曲线. 由图4可以看出，在系统参数发生变化时，重介质悬浮液密度会短暂偏离设定值，但很快会满足事件触发机制（17）–（18），进而更新控制器，恢复跟踪效果. 图5是给水阀门开度的变化曲线.

图4本文方法下重介质悬浮液密度控制曲线

Fig.4The curves of dense medium suspension density using the proposed control method

图5本文方法下的加水阀门开度曲线

Fig.5The curves of water valve position using the proposed control method

为进一步验证本文方法的有效性，将事件触发控制方法与时间触发控制方法进行仿真对比，具体结果如图6–7所示. 图6是事件触发控制方法和时间触发控制方法的控制曲线，其中，时间触发方法采用本文第3.3 节所设计的控制器. 图7是事件触发方法与时间触发方法的控制器触发次数对比图. 时间触发方法要求控制器在每个框架周期进行一次更新，则在 1200 s的仿真时间里共更新了200次. 由图7可以看出，本文所提的事件触发方法在1200 s的时间里仅更新了104次. 由此得出结论，本文所提出的多速率事件触发控制方法能够在保证系统控制性能的前提下，显著减少控制器的更新次数，从而降低系统的通信量.

图6事件触发与时间触发的重介质悬浮液密度控制曲线

Fig.6The curves of dense medium suspension density using the event-triggered and time-triggered control method

图7触发次数对比图

Fig.7Comparison of update times

6 结论

本文面向重介分选密度回路多速率的采样的生产情况，针对参数慢时变以及通信资源浪费问题，提出了一种基于多速率事件触发控制的重介分选密度调控方法. 通过提升技术和基于连续学习的多速率辨识方法建立多速率系统模型，并在此基础上设计了基于事件触发的MPC控制器. 采用实际数据对本文方法进行了仿真研究，实验结果表明本文方法能够在保证重介质悬浮液密度跟踪设定值的前提下，显著减少控制器的更新次数，节省了通讯资源. 对重介分选过程的网络化具有一定参考价值. 由于本文所提方法的稳定性很大程度上依赖所设计的多速率模型预测控制器的稳定性，其稳定性分析以及设计更鲁棒的多速率模型预测控制器是未来值得研究的工作之一.

图1重介分选工艺流程图

Fig.1Flow chart of DMS process

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图2多速率采样系统采样周期规律

Fig.2Sampling period law of multi-rate sampling system

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图3基于事件触发的模型预测控制器控制策略

Fig.3Event-triggered control strategy of MPC

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图4本文方法下重介质悬浮液密度控制曲线

Fig.4The curves of dense medium suspension density using the proposed control method

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图5本文方法下的加水阀门开度曲线

Fig.5The curves of water valve position using the proposed control method

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图6事件触发与时间触发的重介质悬浮液密度控制曲线

Fig.6The curves of dense medium suspension density using the event-triggered and time-triggered control method

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图7触发次数对比图

Fig.7Comparison of update times

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表1重介分选密度回路动态模型参数

Table1Parameters of density loop dynamic model of DMS process

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图1重介分选工艺流程图

Fig.1Flow chart of DMS process

图2多速率采样系统采样周期规律

Fig.2Sampling period law of multi-rate sampling system

图3基于事件触发的模型预测控制器控制策略

Fig.3Event-triggered control strategy of MPC

图4本文方法下重介质悬浮液密度控制曲线

Fig.4The curves of dense medium suspension density using the proposed control method

图5本文方法下的加水阀门开度曲线

Fig.5The curves of water valve position using the proposed control method

图6事件触发与时间触发的重介质悬浮液密度控制曲线

Fig.6The curves of dense medium suspension density using the event-triggered and time-triggered control method

图7触发次数对比图

Fig.7Comparison of update times

表1重介分选密度回路动态模型参数

Table1Parameters of density loop dynamic model of DMS process

图(7) / 表(1)

引用本文

杨翊卓, 王兰豪, 张淇瑞, 等. 基于多速率事件触发控制的重介分选密度调控. 控制理论与应用, 2025, 42(5): 999 – 1007

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YANG Yizhuo, WANG Lanhao, ZHANG Qirui, et al. Density regulation of dense medium separation with multi-rate event-triggered control. Control Theory & Applications, 2025, 42(5): 999 – 1007

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图1重介分选工艺流程图

Fig.1Flow chart of DMS process

图2多速率采样系统采样周期规律

Fig.2Sampling period law of multi-rate sampling system

图3基于事件触发的模型预测控制器控制策略

Fig.3Event-triggered control strategy of MPC

图4本文方法下重介质悬浮液密度控制曲线

Fig.4The curves of dense medium suspension density using the proposed control method

图5本文方法下的加水阀门开度曲线

Fig.5The curves of water valve position using the proposed control method

图6事件触发与时间触发的重介质悬浮液密度控制曲线

Fig.6The curves of dense medium suspension density using the event-triggered and time-triggered control method

图7触发次数对比图

Fig.7Comparison of update times

表1重介分选密度回路动态模型参数

Table1Parameters of density loop dynamic model of DMS process

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