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符号社会网络上的多维观点动力学与决策

doi: 10.7641/CTA.2023.30015

刘青松¹ ，刘宇飞¹ ，柴利^2,3

1. 武汉科技大学信息科学与工程学院, 湖北武汉 430081

2. 浙江大学工业控制技术全国重点实验室, 浙江杭州 310027

3. 浙江大学控制科学与工程学院, 浙江杭州 310027

基金项目: 国家自然科学基金项目(61903282, 62173259), 中国博士后科学基金项目(2020T130488), 湖北省自然科学基金项目(2022CFB110)资助.

详细信息

作者简介

刘青松副教授,目前研究方向为社会网络、观点动力学分析、多智能体系统控制,E-mail: qingsongliu@wust.edu.cn;

刘宇飞硕士研究生,目前研究方向为社会网络、观点动力学分析,E-mail: lyufei@wust.edu.cn;

柴利教授,目前研究方向为网络控制系统、分布式优化、滤波器组、图形信号处理,E-mail: chaili@zju.edu.cn.

通信作者

柴利,E-mail: chaili@zju.edu.cn

Multidimensional opinion dynamics and decision-making over signed social networks

LIU Qing-song¹ ， LIU Yu-fei¹ ， CHAI Li^2,3

1. School of Information Science and Engineering, Wuhan University of Science and Technology, Wuhan Hubei 430081 , China

2. State Key Laboratory of Industrial Control Technology, Zhejiang Unviersity, Hangzhou Zhejiang 310027 , China

3. College of Control Science and Engineering, Zhejiang Unviersity, Hangzhou Zhejiang 310027 , China

Funds: Supported by the National Natural Science Foundation of China (61903282, 62173259), the China Postdoctoral Science Foundation (2020T130488) and the National Natural Science Foundation of Hubei Province (2022CFB110).

摘要

在社会心理学中, 个体的决策行为一方面会受到自己观点的影响, 观点的演化又会受到观察到他人决策行为的影响; 另一方面, 个体之间既存在合作关系又存在竞争关系. 本文建立了具有集体决策的符号社会网络多维观点动力学模型, 描述同时具有竞争与合作关系的社会网络中群体观点与集体决策行为的共同演化. 根据影响矩阵和逻辑矩阵的行随机性, 给出多维观点有界性的充分条件和保证集体采取相同决策行为的充要条件. 应用本文提出的观点与集体决策模型研究了社会心理学中的“认知失调”、“登门坎效应”和“认知协调”现象.

关键词

多维观点动力学 / 集体决策 / 符号社会网络 / 有界性 / 拟一致性

Abstract

In social psychology, the individual’s decision-making behavior may be affected by their own opinions, the opinion evolution may be also influenced by the observed decision-making behaviors of others. On the other hand, there exist both cooperative and competitive relationships among individuals. In this paper, a multidimensional opinion dynamics model of signed social networks with collective decision-making is established, which captures the co-evolution of group opinion and collective decision-making behavior in social networks with both cooperative and competitive relationships. In terms of the row-stochasticity of the influence matrix and the logic matrix, the sufficient conditions for the boundedness of multidimensional opinions and the sufficient and necessary conditions to ensure that the group adopts the same decision-making behavior are given. By applying our proposed opinion and collective decision-making model to analyze the phenomenon of cognitive dissonance, the foot in the door effect and the cognitive coordination in social psychology.

Keywords

multidimensional opinion dynamics / collective decision-making / signed social networks / boundedness / quasi-consensus

1 引言 2 问题描述 3 多维观点与集体决策动力学分析 4 基于集体决策的观点动力学模型应用 5 仿真分析 6 结论

1 引言

近年来，社会科学通过建立数学模型研究群体观点交互时广泛出现的复杂现象 ^[1-4]，例如，DeGroot 模型 ^[5]、Friedkin-Johnsen（FJ）模型 ^[6] 和HegselmannKrause（HK）模型 ^[7] . 后来，学者们对其进行了深入研究. 通过推广DeGroot模型，文献 ^[8] 解释了社会心理学中著名的偏见同化现象. Xia等 ^[9] 研究了极端共识平衡点. 为了考虑不同话题之间观点的互相影响问题，Parsegov等 ^[10] 研究了多维FJ观点动力学模型. 针对人们在认知过程中存在的认知惯性问题，文献 ^[11-12] 建立了基于问题序列的观点动力学模型. Chen等 ^[13] 提出了异质的HK动力学模型. 刘青松等 ^[14] 建立了具有类万有引力的HK观点动力学模型. Mei等 ^[15] 提出了基于加权中值的观点动力学模型. 此外，文献 ^[16] 研究了基于 French-DeGroot模型的社会网络的参数和结构辨识.

上述文献主要研究的是个体之间只存在合作关系的社会网络. 事实上，个体之间一般还存在竞争关系. Altafini ^[17] 利用符号图刻画同时具有竞争与合作关系的社会网络. Proskurnikov等 ^[18] 将Altafini模型 ^[17] 推广到时变符号社会网络中，证明了群体观点的模一致性，给出模一致的充要条件. Lin等 ^[19] 针对符号社会网络，根据建立的更新规则，提出了两个观点传播模型. Liu等 ^[20] 研究了基于符号社会网络的观点极化性、一致性和中立性，并给出了保证观点中立性的充要条件. 文献 ^[21] 提出了记忆观点动力学模型.

集体决策是另一个通过数学模型进行广泛研究的现实世界现象，该模型描述了个人在社会网络上的决策如何演化. 近几十年以来，演化博弈论已经成为一种强有力的范例，用于表示和研究网络系统中的决策过程 ^[22-23] . 事实上，在社会心理学中，观点动力学演化和集体决策两个过程是互相影响（耦合）的. 最近，针对具有合作关系的社会网络，Zino等 ^[24] 提出了观点与决策共同演化动力学模型，刻画了社会群体中的个体通过一个沟通渠道了解他人的观点. 之后，通过引入外部的影响或者偏见，Zino等 ^[25] 建立了一个新的观点与决策共同演化动力学模型.

针对具有竞争与合作关系的社会网络，本文研究多维观点与集体决策共同演化问题. 本文主要贡献如下: 1）建立具有集体决策的符号社会网络多维观点动力学模型，本文针对的是同时具有竞争与合作关系的社会网络，且考虑多个话题之间观点的耦合. 文献 ^[24] 考虑合作关系的社会网络，且只考虑单个话题观点的演化; 2）给出多维观点有界的充分条件和保证集体采取相同决策行为的充要条件; 3）利用本文提出的观点与集体决策模型研究了“认知失调”、“登门坎效应”和“认知协调”3种社会心理现象.

2 问题描述

本节首先介绍符号网络 ^[17] 和博弈论 ^[25] 的相关概念与性质. 设

G （ W ） = （ V ， ε ， W ）

为一个加权的符号图，其中:

V = {1 ， \dots ， n}

表示个体的集合，

ε \in V \times V

表示边的集合，

W = [w_{i j}] \in R^{n \times n}

为加权矩阵，其中:

w_{i j} > 0

表示个体j和个体i之间是合作关系，

w_{i j} < 0

表示j和i之间是竞争关系. 图

G （ W ）

对应的Laplacian矩阵为

L = [l_{i j}] \in R^{n \times n} ，

其中

l_{i j} = \{\begin{matrix} \sum_{j = 1}^{n} |w_{i j}|, j = i, \\ - w_{i j}, j \neq i, \end{matrix}

此外，结构平衡的符号网络定义可参考文献 ^[17] .

设

G （ A ） = （ V ， ε ， A ）

为一个无向图，

A = [a_{i j}] \in R^{n \times n}

为加权矩阵，其中: 如果

w_{i j} \neq 0 ，

则

a_{i j} = 1 ，

否则

a_{i j} = 0 . d_{i} = \sum_{j = 1}^{n} a_{i j}

表示节点i的度. 设

f_{i l} : Ω_{i l} \to R

表示个体i从决策行为集合Ω_i_l中选取关于话题l的决策行为收益函数，其中l ∈ {1，2，· · ·，m}. 令

ϱ_{i l} \in Ω_{i} l

表示个体i 对话题l 的决策行为，则

ϱ_{i} = [\begin{matrix} ϱ_{i 1} ϱ_{i 2} \dots \end{matrix} {ϱ_{i m}]}^{T} \in \prod_{l} Ω_{i l} .

特别地，在本文中，

Ω_{i l} \in {- 1 ， + 1} .

函数

f_{i l} = f_{i l} (s ∣ ϱ_{i} ， u_{i})

表示个体 i 对话题 l 选择决策行为

s \in Ω_{i l}

的收益，u_i 为外部变量. 收益函数

f_{i l} (s ∣ ϱ_{i} ， u_{i})

的最佳响应决策行为可定义为 ^[24]

Θ_{i l} (f_{i l} (\cdot ∣ ϱ_{i}, u_{i})) ≜ a r g \underset{s \in Ω_{i l}}{m a x} f_{i l} (s ∣ ϱ_{i}, u_{i}) .

(1)

在社会心理学中，个体的决策行为一方面可能受到自己观点的影响，观点的演化过程可能受邻居决策行为的影响 ^[26]; 另一方面，个体之间既有合作关系又有竞争关系，且话题之间的观点相互影响. 为此，针对社会网络

G

（W）和决策网络

G

（A），本文建立下列具有集体决策的符号社会网络多维观点动力学模型:

\begin{matrix} o_{i} (k + 1) = (1 - σ_{i}) C (o_{i} (k) + \\ \sum_{j = 1}^{n} |w_{i j}| (s g n w_{i j} o_{j} (k) - o_{i} (k))) + \\ \frac{σ_{i}}{d_{i}} \sum_{ς = 1}^{n} a_{i ς} ϱ_{ς} (k), \end{matrix}

(2)

其中:

o_{i} （ k ） = {[\begin{matrix} o_{i 1} （ k ） o_{i 2} （ k ） \dots o_{i m} （ k ） \end{matrix}]}^{T} \in R^{m}

表示个体i 在k时刻对m个不同话题的观点，

ϱ_{ς} \in {- 1 ， + 1}^{m}

表示个体i采取的两种决策行为，逻辑矩阵

C \in R^{m \times m}

为行随机矩阵，其刻画不同话题之间观点的相互关系，

σ_{i} \in [0，1]

刻画邻居决策行为对个体观点的影响程度，特别地，当不考虑决策行为时，即 σ_i = 0，模型（2）则退化成经典的 DeGroot 模型 ^[5] . sgn（·）为Signum函数，

a_{i ς} \in {0，1} .

特别地，

o_{i l} （ k ） > 0

表示个体i在k时刻对于话题 l的观点是偏爱决策行为

+ 1 ， o_{i l} （ k ） < 0

表示个体i在 k时刻对于话题l的观点是偏爱决策行为−1，o_il（k）= 0表示个体i在k时刻对于话题l的观点是在决策行为 +1和−1之间保持中立.

博弈论中的一个经典概念是最佳对策响应. 理论上，给定一组收益函数

Θ_{i l} (f_{i l} (\cdot ∣ ϱ_{i} ， o_{i})) ，

则最佳响应可定义为式（1）的形式. 根据如何解决

Θ_{i l}

的情况，可以定义最佳响应动态的几种实现. 本文考虑个体i对话题l的决策行为

ϱ_{i l} （ k ）

满足 ^[24]

(3)

即如果多个行动使个体i的收益最大化，则个体i就不会改变他们的行动，其中个体i对话题l采取决策行为+1和−1的收益分别为

\begin{matrix} f_{i l} (+ 1 ∣ ϱ_{i}, o_{i}) = \\ \frac{1}{2} γ_{i} o_{i l} + \frac{(1 - γ_{i}) (1 + α)}{d_{i}} \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} \frac{1 + ϱ_{j l}}{2} \end{matrix}

(4)

和

\begin{matrix} f_{i l} (- 1 ∣ ϱ_{i}, o_{i}) = \\ - \frac{1}{2} γ_{i} o_{i l} + \frac{(1 - γ_{i})}{d_{i}} \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} \frac{1 - ϱ_{j l}}{2}, \end{matrix}

(5)

其中: α >0表示采取决策行为+1优于采取决策行为−1，γ_i∈ [0，1]描述个体i在决策中对自己观点的敏感性.

假设 1 网络

G

（W）是强连通的.

类似于文献 ^[25]，本文给出了如上关于网络连通性的假设.

3 多维观点与集体决策动力学分析

本节将在既有竞争关系又有合作关系的社会网络中，分析多维观点动力学与集体决策共同演化.

定理 1 在假设1满足的条件下，针对符号社会网络上多维观点动力学与集体决策模型（2）. 如果

\sum_{j = 1}^{n} |w_{i j}| = 1

且对于任意的

i \in V ， o_{i} （ 0 ） \in [- 1，1]^{m} ，

则

o_{i} （ k ） \in [- 1，1]^{m} ， \forall k ⩾ 0 ， i \in V .

证利用数学归纳方法证明本定理. 易知

o_{i} （ 0 ） \in [- 1，1]^{m}

成立，假设当τ = 1，2，· · ·，k时，

o_{i} （ τ ） \in [- 1，1]^{m}

成立. 下面只需证明当

τ = k + 1

时，

o_{i} （ k + 1 ） \in [- 1，1]^{m}

成立即可.

由式（2）可得

\begin{matrix} |o_{i} (k + 1)| = \\ ∣ (1 - σ_{i}) C (o_{i} (k) + \\ \sum_{j = 1}^{n} |w_{i j}| (s g n w_{i j} o_{j} (k) - o_{i} (k))) + \\ \frac{σ_{i}}{d_{i}} \sum_{ς = 1}^{n} a_{i ς} ϱ_{ς} (k)| ⩽ \\ |(1 - σ_{i}) C (o_{i} (k) - \sum_{j = 1}^{n} l_{i j} o_{j} (k))| + \end{matrix}

\begin{matrix} |\frac{σ_{i}}{d_{i}} \sum_{ς = 1}^{n} a_{i ς} ϱ_{ς} (k)| = \\ |(1 - σ_{i}) C \sum_{j = 1}^{n}| w_{i j} |o_{j} (k)| + |\frac{σ_{i}}{d_{i}} \sum_{ς = 1}^{n} a_{i ς} ϱ_{ς} (k)| ⩽ \\ (1 - σ_{i}) | C | \sum_{j = 1}^{n} |w_{i j}| |o_{j} (k)| + \frac{σ_{i}}{d_{i}} \sum_{ς = 1}^{n} a_{i ς} ϱ_{ς} (k), \end{matrix}

注意到C为行随机矩阵，即

| C | = 1 .

故

|o_{i} (k + 1)| ⩽

\begin{matrix} (1 - σ_{i}) \sum_{j = 1}^{n} |w_{i j}| |o_{j} (k)| + \frac{σ_{i}}{d_{i}} \sum_{ς = 1}^{n} a_{i ς} |ϱ_{ς} (k)| ⩽ \\ (1 - σ_{i}) \sum_{j = 1}^{n} |w_{i j}| + \frac{σ_{i}}{d_{i}} \sum_{ς = 1}^{n} |a_{i ς}| ⩽ \\ (1 - σ_{i}) + σ_{i} = 1 \end{matrix}

即

o_{i} （ k + 1 ） \in [- 1，1]^{m} .

综上所述，对任意

\forall k ⩾ 0 ， o_{i} （ k ） \in [- 1，1]^{m} ， \forall i \in V .

证毕.

注 1 特别地，当σ_i = 0时，模型（2）则退化成经典的 DeGroot 模型 ^[5] . 由假设1和

\sum_{j = 1}^{n} |w_{i j}| = 1

可得 ^[1]，观点

o_{i} （ k ） \in [- 1，1]^{m} ， \forall k ⩾ 0 ， i \in V .

上述定理给出了观点有界性分析，下面定理将给出集体决策一致性分析.

定理 2 针对集体决策模型（3），可得如下结论:

1）

\underset{k \to \infty}{l i m} ϱ_{i} （ k ） = + 1_{m} ，

当且仅当对于话题l，

\underset{k}{i n f} o_{i l} (k) ⩾ - \frac{(1 - γ_{i}) (1 + α)}{γ_{i}}, \forall i,

(6)

其中

1_{m} = {[\begin{matrix} 1 1 \dots 1 \end{matrix}]}^{T} \in R^{m} .

2）

\underset{k \to \infty}{l i m} ϱ_{i} （ k ） = - 1_{m} ，

当且仅当对于话题l，

\underset{k}{s u p} o_{i l} (k) ⩽ \frac{1 - γ_{i}}{γ_{i}}, \forall i .

(7)

证 1）采用反证法证明必要性. 如果式（6）不成立，则对于话题l，存在

k \in Z^{+}

和i ∈ V，使得

o_{i l} （ k ） < - \frac{(1 - γ_{i}) （ 1 + α ）}{γ_{i}} .

当

\bar{k} ⩾ k

时，根据式（4）–（5）可得

\begin{matrix} f_{i l} (+ 1 ∣ + 1, o_{i l} (\bar{k})) = \\ \frac{1}{2} γ_{i} o_{i l} (\bar{k}) + (1 - γ_{i}) (1 + α) < \\ \frac{(1 - γ_{i}) (1 + α)}{2} \end{matrix}

和

\begin{matrix} f_{i l} (- 1 ∣ + 1, o_{i l} (\bar{k})) = \\ - \frac{1}{2} γ_{i} o_{i l} (\bar{k}) > \frac{(1 - γ_{i}) (1 + α)}{2} . \end{matrix}

进一步地，易得

f_{i l} (+ 1 ∣ + 1, o_{i l} (\bar{k})) < f_{i l} (- 1 ∣ + 1, o_{i l} (\bar{k})),

由式（1）可知，

ϱ_{i l} （ \bar{k} ） = - 1 ，与 \underset{k \to \infty}{l i m} ϱ_{i} （ k ） = + 1_{m}

矛盾. 故

\underset{k}{i n f} o_{i l} （ k ） ⩾ - \frac{(1 - γ_{i}) （ 1 + α ）}{γ_{i}} .

充分性: 已知对于话题l和任意的

k \in Z^{+} ， i \in V ， o_{i l} （ k ） ⩾ - \frac{(1 - γ_{i}) （ 1 + α ）}{γ_{i}} .

根据式（4）–（5）可得

\begin{matrix} f_{i l} (+ 1 ∣ + 1, o_{i l} (k)) = \\ \frac{1}{2} γ_{i} o_{i l} (k + 1) + (1 - γ_{i}) (1 + α) ⩾ \\ \frac{(1 - γ_{i}) (1 + α)}{2} \end{matrix}

和

\begin{matrix} f_{i l} (- 1 ∣ + 1, o_{i l} (k)) = \\ - \frac{1}{2} γ_{i} o_{i l} (k + 1) ⩽ \frac{(1 - γ_{i}) (1 + α)}{2} \end{matrix}

易得

f_{i l} (+ 1 ∣ + 1 ， o_{i l} （ k ）) ⩾ f_{i l} (- 1 ∣ + 1 ， o_{i l} （ k ）) ，

根据最佳响应策略（1）可知，

\underset{k \to \infty}{l i m} ϱ_{i} （ k ） = + 1_{m} .

类似地，易证定理2的2）成立，此处省略. 证毕.

根据定理1和定理2可得下列推论.

推论 1 在假设1满足的条件下，针对多维观点动力学与集体决策模型（2）. 如果

\sum_{j = 1}^{n} |w_{i j}| = 1 ，

则群体的最终观点与其初始观点无关.

证根据式（2）可得

\begin{matrix} o_{i} (k + 1) = \\ (1 - σ_{i}) C (o_{i} (k) - \sum_{j = 1}^{n} l_{i j} o_{j} (k)) + \\ \frac{σ_{i}}{d_{i}} \sum_{ς = 1}^{n} a_{i ς} ϱ_{ς} (k) = \\ (1 - σ_{i}) C \sum_{j = 1}^{n} |w_{i j}| o_{j} (k) + \frac{σ_{i}}{d_{i}} \sum_{ς = 1}^{n} a_{i ς} ϱ_{ς} (k), \end{matrix}

令

\bar{W} = [|w_{i j}|] \in R^{n \times n} ，

则上式可进一步地写成

O (k + 1) = ((I - Λ) \bar{W} \otimes C) O (k) + Λ D A P (k),

(8)

其中:

Λ = d i a g \{σ_{1} ， σ_{2} ， \dots ， σ_{n}\} ， O = [o_{i l}] \in R^{n \times m} ，

P = [ϱ_{i l}] \in R^{n \times m}, D = d i a g \{\frac{1}{d_{i}}, \frac{1}{d_{2}}, \dots, \frac{1}{d_{n}}\} .

由式（8）可得

O (k) = ((I - Λ) \bar{W} \otimes C)^{k} O (0) + Γ (k),

(9)

其中

Γ (k) = \sum_{τ = 1}^{k} ((I - Λ) \bar{W} \otimes C)^{k - l} Λ D A P (τ - 1),

注意到， P（τ − 1）是有界的，

ρ （ C ） ⩽ 1 .

此外，由网络

G

（W）是强连通的和

\sum_{j = 1}^{n} |w_{i j}| = 1

可得，

\underset{k \to \infty}{l i m} {\bar{W}}^{k} = {\bar{W}}^{*} ，

其中，

{\bar{W}}^{*}

有界 ^[1] . 因此，

\underset{k \to \infty}{l i m} Γ （ k ） = Γ^{*} ，

其中

Γ^{*}

有界. 综上可得

\underset{k \to \infty}{l i m} O (k) = Γ^{*}

故群体的最终观点与其初始观点无关. 证毕.

本节给出了具有竞争与合作关系的社会网络中多维观点有界的充分条件，以及保证集体决策行为一致性的充分必要条件.

4 基于集体决策的观点动力学模型应用

本小节利用建立的动力学模型（2）研究社会心理学中经典的现象: 认知失调 ^[27]、登门坎效应 ^[28] 和认知协调 ^[27] . 认知失调是指个体的态度（观点）与决策行为存在矛盾. 登门坎效应是指一个人一旦接受了他人的一个微不足道的要求，为了避免认知上的不协调，或想给他人前后一致的印象，就可能接受更大的要求. 认知协调是指个体内在认知和外在行为相统一.

为了更好地理解，利用文献 ^[10] 中的实例进行说明. 考虑6个人在讨论两个相关的话题，例如，鱼和鲑鱼，鱼包含鲑鱼. 网络拓扑结构如图1所示，其中: 实线表示合作关系，虚线表示竞争关系. 权重矩阵W为 ^[29]

W = [\begin{matrix} 0.4 & 0 & - 0.6 & 0 & 0 & 0 \\ - 0.1 & 0.9 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0.3 & 0.4 & 0.2 & 0 & - 0.1 \\ - 0.2 & 0.3 & 0 & 0.5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 0.4 & 0.6 & 0 \\ 0.4 & 0 & 0 & 0 & 0.4 & 0.2 \end{matrix}] .

图1网络

G

（W）的拓扑结构

Fig.1The topological structure of network

G

(W)

设o_i₁（k）>0和o_i₂（k）>0分别表示个体i在k时刻的观点是偏爱鱼和偏爱鲑鱼，o_i₁（k）<0和o_i₂（k）<0分别表示个体i在k时刻的观点是不偏爱鱼和不偏爱鲑鱼. ϱ_i₁（k）和ϱ_i₂（k）分别表示个体i在k时刻对购买鱼和鲑鱼的决策行为. 文献 ^[10] 中的逻辑矩阵为

C = [\begin{matrix} 0.8 0.2 \\ 0.3 0.7 \end{matrix}],

(10)

描述对偏爱鱼与鲑鱼的观点相互影响.

令n = 6 个个体的初始观点分别为

o_{1} （ 0 ） = {[\begin{matrix} 0.1 - 0.7 \end{matrix}]}^{T} ， o_{2} （ 0 ） = {[\begin{matrix} - 0.7 - 0.7 \end{matrix}]}^{T} ， o_{3} （ 0 ） = [0.3 - 0.9]^{T} ， o_{4} （ 0 ） = {[\begin{matrix} 0.2 1 \end{matrix}]}^{T} ， o_{5} （ 0 ） = {[\begin{matrix} - 0.9 - 0.8 \end{matrix}]}^{T} ， o_{6} （ 0 ） = {[\begin{matrix} 0.4 - 0.8 \end{matrix}]}^{T} .

不失一般性地，令个体初始的决策行为分别为

\begin{matrix} ϱ_{11} (0) = ϱ_{31} (0) = ϱ_{61} (0) = 1, \\ ϱ_{12} (0) = ϱ_{32} (0) = ϱ_{62} (0) = - 1, \\ ϱ_{21} (0) = ϱ_{51} (0) = - 1, ϱ_{22} (0) = ϱ_{52} (0) = - 1, \\ ϱ_{31} (0) = 1, ϱ_{32} (0) = - 1, ϱ_{41} (0) = 1, ϱ_{42} (0) = 1 . \end{matrix}

另外，设

σ_{i} = 0.1 ， α = 0.1 ， γ_{i} = 0.1 .

具有集体决策的多维观点动力学模型（2）的观点与决策行为曲线如图2所示. 由图可知，个体的决策行为在k = 20时刻之前已经达到一致，即对鱼的决策行为是+1（购买），对鲑鱼的决策行为是−1（不购买）. 而此时部分个体对购买鱼的观点是不偏爱，部分对购买鲑鱼的观点是偏爱. 即观点值与决策行为不同，故出现了认知失调现象. 在k = 20时刻与k = 100时刻之间，个体逐渐改变自己观点，此为登门坎效应. 在k = 100时刻之后，由于登门坎效应的影响，群体观点与决策行为相同，即为认知协调现象.

图2认知失调、登门坎效应和认知协调

Fig.2The cognitive dissonance, the foot in the door technique and the cognitive coordination

5 仿真分析

定义 1 设

Δ （ k ） = \underset{i ， j \in V_{p}}{m a x} |o_{i} （ k ） - o_{j} （ k ）| ， p \in {1，2} ，

如果存在充分小的ε>0，使得

\underset{k \to \infty}{l i m} s u p Δ (k) ⩽ ε,

则称群体观点达到聚类拟一致.

考虑由n = 10个个体的组成的社会群体，其网络拓扑结构如图3所示，易知网络是结构平衡的社会网络，其中，i ∈ V₁ ={1，· · ·，7}，j ∈ V₂ ={8，9，10}. 令 σ_i= 0.1，d_i = 5，α = 0.1和γ_i = 0.1. 逻辑矩阵C由式（10）给出. 设初始观点为

\begin{matrix} o_{1} (0) = {[\begin{matrix} 0.1 & 0.3 \end{matrix}]}^{T}, o_{2} (0) = {[\begin{matrix} 0.1 & - 0.6 \end{matrix}]}^{T}, \\ o_{3} (0) = {[\begin{matrix} 0.3 & - 0.9 \end{matrix}]}^{T}, o_{4} (0) = {[\begin{matrix} - 0.2 & 0.9 \end{matrix}]}^{T}, \\ o_{5} (0) = {[\begin{matrix} - 0.3 & - 0.2 \end{matrix}]}^{T}, o_{6} (0) = {[\begin{matrix} - 0.5 & - 0.5 \end{matrix}]}^{T}, \\ o_{7} (0) = {[\begin{matrix} 0.3 & - 0.7 \end{matrix}]}^{T}, o_{8} (0) = {[\begin{matrix} 0.1 & 0.2 \end{matrix}]}^{T}, \\ o_{9} (0) = {[\begin{matrix} 0.3 & - 0.9 \end{matrix}]}^{T}, o_{10} (0) = {[\begin{matrix} 1 & 0.3 \end{matrix}]}^{T} . \end{matrix}

初始决策

ϱ_{1} （ 0 ） = ϱ_{8} （ 0 ） = ϱ_{10} （ 0 ） = {1，1} ， ϱ_{2} （ 0 ） = ϱ_{3} （ 0 ） = ϱ_{7} （ 0 ） = ϱ_{9} （ 0 ） = {1 ， - 1} ， ϱ_{3} （ 0 ） = {1 ， - 1} ， ϱ_{4} （ 0 ） = {- 1，1} ， ϱ_{5} （ 0 ） = ϱ_{6} （ 0 ） = {- 1 ， - 1} .

基于结构平衡社会网络的多维观点与集体决策共同演化曲线如图4所示. 根据图4（a）和图4（c）可得，群体对话题1的集体决策行为是+1，而对话题2的集体决策行为是−1. 由图4（b）和图4（d）可知，针对话题1和话题2，群体的观点分别在k = 165和k = 220后达到聚类拟一致，即群体关于话题1的观点是偏爱决策行为+1，群体关于话题2的观点是偏爱决策行为−1.

设群体初始观点

o_{i} （ 0 ） \in [- 1，1]^{m}

是随机均匀分布的，在随机取的两组观点下，基于模型（2）的观点演化曲线如图5所示. 易得群体最终观点得收敛值与群体初始观点无关.

图3结构平衡网络

G

（W）的拓扑结构

Fig.3The topological structure of structurally balanced network

G

(W)

图4基于结构平衡社会网络的观点与集体决策共同演化

Fig.4The coevolution of opinion and collective decisionmaking over structurally balanced social network

6 结论

本文通过建立一个具有集体决策的符号社会网络多维观点动力学模型，研究同时具有竞争与合作关系的社会网络中群体观点与集体决策行为的共同演化问题. 根据影响矩阵和逻辑矩阵的行随机性，得出多维观点有界的充分条件和保证集体采取相同决策行为的充要条件. 最后，利用本文建立的观点与集体决策动力学模型研究了“认知失调”、“登门坎效应” 和“认知协调”3种社会心理学现象.

图5不同初始观点下的群体观点演化

Fig.5Evolution of group opinion with different initial opinions

图1网络

G

（W）的拓扑结构

Fig.1The topological structure of network

G

(W)

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图2认知失调、登门坎效应和认知协调

Fig.2The cognitive dissonance, the foot in the door technique and the cognitive coordination

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图3结构平衡网络

G

（W）的拓扑结构

Fig.3The topological structure of structurally balanced network

G

(W)

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图4基于结构平衡社会网络的观点与集体决策共同演化

Fig.4The coevolution of opinion and collective decisionmaking over structurally balanced social network

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图5不同初始观点下的群体观点演化

Fig.5Evolution of group opinion with different initial opinions

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图1网络

G

（W）的拓扑结构

Fig.1The topological structure of network

G

(W)

图2认知失调、登门坎效应和认知协调

Fig.2The cognitive dissonance, the foot in the door technique and the cognitive coordination

图3结构平衡网络

G

（W）的拓扑结构

Fig.3The topological structure of structurally balanced network

G

(W)

图4基于结构平衡社会网络的观点与集体决策共同演化

Fig.4The coevolution of opinion and collective decisionmaking over structurally balanced social network

图5不同初始观点下的群体观点演化

Fig.5Evolution of group opinion with different initial opinions

图(5)

引用本文

刘青松, 刘宇飞, 柴利. 符号社会网络上的多维观点动力学与决策. 控制理论与应用, 2025, 42(2): 419 – 425

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LIU Qingsong, LIU Yufei, CHAI Li. Multidimensional opinion dynamics and decision-making over signed social networks. Control Theory & Applications, 2025, 42(2): 419 – 425

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图1网络

G

（W）的拓扑结构

Fig.1The topological structure of network

G

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Fig.2The cognitive dissonance, the foot in the door technique and the cognitive coordination

图3结构平衡网络

G

（W）的拓扑结构

Fig.3The topological structure of structurally balanced network

G

(W)

图4基于结构平衡社会网络的观点与集体决策共同演化

Fig.4The coevolution of opinion and collective decisionmaking over structurally balanced social network

图5不同初始观点下的群体观点演化

Fig.5Evolution of group opinion with different initial opinions

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