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带有姿态估计反馈和数据驱动模型的微动平台角位移控制

doi: 10.7641/CTA.2023.30081

杜章铭，周超，王硕

中国科学院自动化研究所, 北京 100190 ; 中国科学院大学, 北京 100049

基金项目: 国家自然科学基金项目(61873268, 62033013)资助.

详细信息

作者简介

杜章铭博士,目前研究方向为微纳操作机器人及精密运动控制,E-mail: dzm000@126.com;

周超研究员,硕士生导师.目前研究方向包括机器人运动控制、水下仿生机器人及机器人嵌入式系统等,E-mail: chao.zhou@ia.ac.cn;

王硕研究员,博士生导师.目前研究方向包括水下仿生机器人、多机器人系统、机器人灵巧操作等,E-mail: shuo.wang@ia.ac.cn.

通信作者

周超，E-mail: chao.zhou@ia.ac.cn.

Angular control with attitudes estimation feedback and data-driven model for fine motion platform

DU Zhang-ming ， ZHOU Chao ， WANG Shuo

Institute of Automation, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190 , China ; University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049 , China

Funds: Supported by the National Natural Science Foundation of China (61873268, 62033013).

摘要

对角位移的高精度控制是微动平台在实际应用中的重要任务, 当前主流微动平台在进行角位移控制时, 对机构的精密性较为依赖, 成本较高且不便于根据具体任务定制化. 对此, 本文提出了一种基于姿态估计反馈和数据驱动模型的微动平台角位移控制方法, 使机械精度较差的机构也可实现高精度的角位移致动. 首先, 基于数据驱动的方式对致动机构的正、逆运动学模型进行神经网络建模, 避开了复杂的运动学求解和自由度间解耦问题; 其次, 根据稀疏实测角位移和正运动学模型预测提供角位移的联合估计反馈. 基于此, 通过直接逆控制(DIC)和比例–积分 (PI)结合的方式实现2自由度角位移复合控制; 最后, 通过角位移跟踪控制实验对所提方法的有效性进行了验证.

关键词

微动平台 / 角位移控制 / 姿态估计 / 直接逆控制 / 神经网络

Abstract

High-precision angular displacement actuation is an important task in applications of fine-motion platform, for which the major current products highly depends on expensive high-precision mechanism with low flexibility of customization. Therefore, this article proposes a controller based on a combination of attitude estimation feedback and datadriven models, making it possible for platforms with low mechanical precision to perform fine angular actuation. Firstly, the forward and inverse kinematics models are built with neural-networks, avoiding complex calculations for the solution of kinematic problem and the decoupling between motion axes. Secondly, a joint estimation of angular displacement is designed for feedback, based on sparse actual measurements and forward-model predictions. Then the direct-inverse-control (DIC) and the proportional-integral (PI) method are combined to perform 2-DOFs angular control. Finally, the effectiveness of proposed method is verified with angular tracking experiments.

Keywords

fine motion platform / angular displacement control / attitude estimation / direct inverse control / neural network

1 引言 2 二维姿态微调平台 3 底层压电致动器位移控制 4 二维姿态角位移复合控制方法 4.1 控制框架 4.2 数据驱动模型 4.3 基于姿态估计的反馈控制 4.3.1 角位移估计 4.3.2 反馈控制器 5 实验与分析 5.1 实验配置 5.2 角位移跟踪实验 6 总结

1 引言

微动平台是一种以微米级乃至纳米级运动精度致动负载进行微小尺度位移的装置，作为精密光学仪器、精密制造设备和微纳操作机等设备中的运动单元，在光学、半导体、生物、材料、精密加工等领域有着广泛的应用价值 ^[1-4] . 当前主流微动平台以XYZ方向平移运动为平台和载荷姿态微调能力较为欠缺. 但随着前述领域对目标姿态的精度要求进一步提高，对姿态角的微调控制需求将日益显现.

主流的微动平台往往采用压电致动器配合特定的柔性铰链机构实现载荷位姿微调. 压电致动器以逆压电效应为原理，受外部电场影响时能在特定方向上产生纳米尺度的形变，从而使载荷发生位移 ^[5] . 因其较小的形变范围和对应的较大的驱动电压范围，压电致动器天然具备了较高的运动分辨率，满足微米至纳米尺度的运动精度要求. 与之相配合地，基于柔性铰链的各类位移传导机构 ^[6-7] 则被用于将压电致动器位移进行缩放或变向，并可将多个致动器进行组合，实现多自由度或多层级的致动能力 ^[2-4] . 以压电陶瓷堆栈为代表的主流压电致动器只能在一个线性方向上产生形变，虽有部分悬臂梁形式的压电致动器可直接产生角位移 ^[8]，但该角位移往往难以在运动机构的整合中得到有效利用，而其更为复杂的非线性输入–输出特性也对控制形成较大的挑战，因此，在实践中往往利用线性运动单元与机构间的配合，通过带动受控对象上某几个点发生平移，间接控制载荷整体的姿态角，如文献 ^[9] 中用错开分布的3组同向线性运动单元控制载荷的空间姿态. 文献 ^[10] 中以并联的压电陶瓷– 柔性铰链组合体，实现载物平台的6自由度位姿微调. 文献 ^[11] 则以一体化的机构设计将压电致动器以三角排布，实现了XY 平面内的平移和单自由度角度微调. 此类方案对机构设计和制造工艺要求严格 ^[12]，限制了其在应用中的灵活性.

在控制方面，压电微动平台的姿态控制难点主要体现在两个层面: 底层致动器的非线性问题和多自由度间的耦合关系. 作为底层运动单元的压电致动器存在较为明显的非线性输入–输出关系，主要表现为迟滞、蠕变和动态非线性 ^[13-14] . 在这些非线性特性的影响下，压电致动器的输出位移不但与对应时刻的输入控制电压相关，还与其历史状态和运动频率相关 ^[15-16]，因此，仅基于反馈的控制器无法高效准确地对动态目标进行控制，一般需要建立压电致动器的非线性模型来引入前馈控制环节 ^[15，17-18] . 在此基础上，基于直接逆控制（direct inverse control，DIC）^[19-21]、内模控制（internal model control，IMC）^[22]、迭代学习控制（iterative learning control，ILC）^[23-24]、模型预测控制（model predictive control，MPC）^[16，25] 等方法的各类控制器被用于压电致动器的位移控制. 这些方法在高频控制系统的配合下取得了较好的控制效果，但也部分存在对模型精度依赖较大、计算复杂、在低频长时延系统中表现不佳等问题 ^[26]，影响其在多自由度微动平台中的实际应用.

微动平台调节姿态的机构往往由多个致动器并联构成，因此自由度间存在一定的耦合关系，而由制造和装配造成的机械误差可能会将这种耦合关系进一步复杂化. 现有方法大多在对上述机械误差进行严格控制的情况下，通过基于原理的数学建模获得致动器位移与平台位姿间的转换关系，进而利用模型进行解耦和控制 ^{[9-10，27-28]} . 还有一些方法将底层致动器的非线性与多自由度运动学关系结合在一起统一考虑 ^[29]，进行端到端的建模，避免了中间过程引入的误差，但也使系统输入–输出模型和上位控制算法变得更加复杂.

针对微动平台多自由度姿态角控制问题，在利用已有工作 ^[26] 中所提MPC控制单自由度压电致动器位移的基础上，本文提出一种复合控制方法，将基于逆运动学模型的直接逆前馈控制和反馈控制结合，处理多个压电致动器位移与多维姿态角之间的耦合关系. 其中，在建模时采用纯数据驱动的方法，降低了控制方法对运动机构机械精度的要求. 其次，针对实际系统角位移反馈率较低的问题，为反馈控制环节设计了一种基于模型预测的姿态估计方法. 最后，本文利用低机械精度的二自由度姿态微调装置，通过角位移跟踪控制实验对所提方法的有效性进行了验证.

2 二维姿态微调平台

本文所针对的模块化二自由度姿态微调平台如图1所示. 该平台以两组压电致动器–柔性铰链组合体（如图2所示）为基本运动单元，该组合体将压电陶瓷堆栈致动器的形变位移在垂直于其主要形变矢量的方向上放大输出. 通过简单的连接件组合基本运动单元后，该平台能以线性方向位移推动作为载荷的反射镜进行俯仰角和偏转角的微调.

图1二自由度姿态微调平台

Fig.12-DOF attitude adjuster

图2基本运动单元

Fig.2Basic motion unit

为配合本文降低机构机械精度要求的目的，该微动平台在装配过程中未对装配精度进行严格控制，因此各自由度上的装配误差会在致动器位移–载荷角位移转换关系中耦合，并最终影响运动机构的传递关系. 通过基于运动学和动力学原理的数学建模难以全面、准确地描述该系统，对二维姿态角的精确控制造成困难. 然而，只要控制方法能克服上述问题，就能实现以低成本、模块化、易装配的运动机构对载荷进行高精度的姿态控制.

3 底层压电致动器位移控制

基本运动单元中的压电致动器具有较强的迟滞、蠕变和频率相关非线性，针对其位移跟踪任务，本文基于此前工作 ^[26] 所提非线性模型预测控制器（nonlinear MPC，NMPC）处理压电致动器非线性特性和低采样率下的位移动态跟踪问题，现对其做简要介绍，该控制器主体部分结构如图3所示.

图3压电致动器位移非线性模型预测控制器框架

Fig.3The framework of nonlinear model predictive controller (NMPC) for displacement of piezoelectric actuators

在k时刻，首先根据下一时刻目标位移r_set设定目标轨迹序列

\hat{R} （ k ） ，

即

\hat{R} (k) = [\begin{matrix} r (k + 1) \dots r (k + n_{p}) \end{matrix}],

(1)

其中当k + 1之后的目标未给出时，第k + i时刻目标位移以一阶动态 ^[30] 形式构造，对目标轨迹进行平滑化，以改善控制的稳定性，即

\begin{matrix} r (k + i) = μ r (k + i - 1) + (1 - μ) r_{s e t}, \\ i = 1, \dots, n_{p}, 0 < μ < 1 . \end{matrix}

(2)

MPC从初始序列

{\hat{U}}_{0} （ k ）

开始，迭代地优化待求控制信号

{\hat{U}}_{i} （ k ） .

同时，基于“带外部输入的非线性自回归滑动平均（nonlinear auto regressive moving average with xogenous inputs，NARMAX）”结构的神经网络预测模型将给出

{\hat{U}}_{i} （ k ） .

对应的预测位移序列

{\hat{Y}}_{i} （ k ） ，

这两个序列的构成见图3. MPC根据

{\hat{Y}}_{i} （ k ） ，

与

\hat{R} （ k ）

间的误差优化

\hat{U} （ k ） ，

直到误差小于容许范围或迭代次数达到上限，将优化后的

{\hat{U}}_{i} （ k ）

中第1项

\hat{u} （ k ）

作为MPC 实际输出u（k）施加于压电致动器. 该方法将压电致动器位移控制问题转换成了如下的最优化问题进行处理，为改善控制稳定性，将控制信号增量序列

Δ \hat{U} （ k ）

作为控制代价也加入最优化目标，即

\begin{matrix} J (\hat{U} (k)) = (\hat{Y} (k) - R (k))^{T} (\hat{Y} (k) - R (k)) + \\ β Δ \hat{U} (k)^{T} Δ \hat{U} (k) . \end{matrix}

(3)

针对上述二次型最优化问题，使用结合高斯–牛顿法和信赖域方法的Levenberg-Marquardt方法进行求解，具体过程可参考文献 ^[31]，此处不再赘述.

为提高底层致动单元的易用性，方便模块化应用，该压电致动器控制系统采用自感知测量方法 ^[32] 进行位移反馈. 反馈环路中加入了位移重估计环节，基于延迟预测校正和扩展卡尔曼滤波（extended Kalman filter，EKF）对反馈信号进行融合估计，以改善动态条件下模型预测环节的准确性和稳定性. 此外，在图3中 NMPC主体结构基础上还加入输出最优化问题初值解

{\hat{U}}_{0} （ k ）

的前馈控制器和用以消除静差的积分补偿项. 在该工作 ^[26] 基础上，底层控制器在低频轨迹跟踪任务中能实现较好的控制效果（1 Hz约3000 nm行程的正弦目标跟踪均方根误差约7.8 nm）. 同时，以容许误差2.5%计的阶跃稳定时间约为8个控制步，而底层控制速率约为姿态控制系统的6倍（对应底层系统6步误差可稳定收敛至阶跃的7.5%以内，接近稳态）. 因此，大部分低频情况下压电致动器的非线性基本被底层控制器消除，各致动单元可视作线性系统.

4 二维姿态角位移复合控制方法

4.1 控制框架

在前述底层致动单元位移模型预测控制器基础上，针对载荷二维姿态控制问题，本文设计了一种基于神经网络直接逆控制和姿态估计反馈的复合控制方法，其结构如图4所示. 前述位移控制系统被视为2个独立线性系统，在输入目标位移

{\bar{s}}_{x} 和 {\bar{s}}_{y}

时分别产生实际位移s_x和s_y，带动作为载荷的反射镜产生俯仰角和偏转角角位移α_pitch和α_yaw. 所提控制框架将此过程的逆运动学模型作为前馈控制器，即以平面镜目标角位移–致动器目标位移的转换模型为前向通道，构成输入目标角位移、输出实际角位移的直接逆控制系统. 为此，作为直接逆控制器的逆运动学模型，需处理各自由度位移、角位移、误差之间的耦合关系.

显然，模型的误差无法被完全消除，实际中为了减轻计算负担，模型也应尽可能简单，这进一步加剧了模型误差造成的开环控制误差. 因此引入了反馈环节，对模型误差进行补偿. 同时，考虑到实际系统中存在角位移反馈速率较低的问题（例如本文针对的系统中，三线激光干涉仪进行角位移测量时采样率大幅低于致动器位移自感知采样率），因此可以利用致动器位移测量结果预测角位移以改善反馈效果. 基于这种考虑，在所提控制框架中引入了致动器位移–反射镜角位移的正运动学模型用以预测反射镜角位移，并结合角位移测量结果，对姿态角进行融合估计. 最后，将该估计结果与目标角位移之间的误差用以计算反馈控制量. 在此情况下，虽然实测角位移的采样速率并未提高，但控制器的实际控制频率得到了提升，可改善低频系统对于动态二维角位移目标轨迹的跟踪性能.

图4二自由度姿态控制系统

Fig.42-DOF attitude control system

4.2 数据驱动模型

本文使用多层前向神经网络对图4所示控制系统框架中的正运动学模型和逆运动学模型进行建模，该模型结构如图5所示.

图5神经网络模型结构

Fig.5Structure of neural network model

该神经网络为单隐含层的二输入–二输出前向网络，隐层只需10个节点，采用如式（4）所示双曲正切函数作为隐含层激活函数σ（x），输出层则采用线性函数输出.

σ (x) = t a n h (x) = \frac{e^{2 x} - 1}{e^{2 x} + 1} .

(4)

逆运动学模型分别以目标角位移

{\bar{α}}_{pitch}

和

{\bar{α}}_{yaw}

作为输入，输出对应的致动器目标位移

{\bar{s}}_{x}

和

{\bar{s}}_{y} ，

而在网络参数辨识过程中，则以实际角位移和致动器目标位移组成的数据对为样本进行训练. 在正运动学模型中，输入为致动器位移测量值，输出为对角位移的预测值，在模型辨识时则采用致动器位移测量值–角位移测量值组成的数据对作为训练样本. 上述训练样本均可通过微调节机构–反射镜组合体的开环输入输出实验获得，以不同频率、相位的正弦波目标位移曲线组合作为底层致动单元控制系统的输入，通过对角位移和致动器实际位移的采样获取对应输出，即可同时获得正、逆两个模型训练所需的样本对. 在此基础上，本文直接调用自适应矩估计方法（adaptive moment estimation，ADAM）^[33] 对神经网络参数通过最优化求解的方式进行辨识.

通过以上方式，微动平台致动器位移与反射镜姿态角位移间的正、逆运动学关系可以通过数据驱动的方式端到端地建模，并且该系统中一些内部力的影响实际上也被作为耦合的非线性而包含在了端到端的模型中.

4.3 基于姿态估计的反馈控制

图4中的直接逆控制部分构成了控制系统的前向通道，但其中直接逆控制器的模型误差和底层控制系统的执行误差都会对最终的角位移控制误差产生无法避免的影响，必须通过反馈控制加以修正. 针对实际系统中存在角位移采样频率较低的问题，本文提出一种基于模型预测的角位移融合估计方法，并在此基础上进行反馈控制.

4.3.1 角位移估计

以本文基于的系统为例，提供角位移测量结果的激光干涉仪在测角模式下反馈频率仅有约50 Hz，在对动态目标的跟踪任务中局限性较大. 由于底层致动单元的位移控制系统使用了文献 ^[32] 中的自反馈位移测量方法，能提供更高采样率的位移反馈，因此可以基于致动器位移–反射镜角位移转换的正运动学模型对角位移进行预测，作为对实际测量结果的补充，并通过将二者融合估计得到更优的角位移反馈，如图4中姿态估计模块所示.

首先，在底层致动单元控制系统的每个采样周期，可根据压电致动器位移反馈，通过图5中的正运动学模型得到对应的反射镜角位移预测. 当关于角位移的实际测量结果产生时，可得到最近的预测值相对于实际测量结果的偏差.

如图6所示，k_l时刻的实测值α_l（k_l）与k − 1时刻的预测值α_m（k − 1）比较得到预测偏差∆α_m（k_l），其中 k − 1是k_l之前最后一个位移采样时刻. 据此，可在下一个角位移实测值α_l（k_l + 1）产生前，对其间的n个预测值进行修正，得到修正预测角位移α_p（k + i）为

Δ α_{m} (k_{1}) = α_{1} (k_{1}) - α_{m} (k - 1)

(5)

\begin{matrix} α_{p} (k + i) = α_{m} (k + i) + Δ α_{m} (k_{1}), \\ i = 0,1, \dots, n . \end{matrix}

(6)

图6角位移预测与修正预测

Fig.6The prediction and corrected prediction of angular displacement

当实测角位移产生时，在依据式（5）计算得到预测角位移偏差∆α_m的同时，也能得到对应时刻的修正角位移偏差为

Δ α_{p} (k_{1}) = α_{1} (k_{1}) - α_{p} (k - 1) .

(7)

通过比较∆α_m（k_l）和∆α_p（k_l）的大小可推断该时刻两种模型预测结果的准确度对比. 然而，由于修正预测值是在原预测结果基础上叠加固定的修正量，因此在产生新的实测值之前，这种修正关系会随时间推移而逐渐失准. 综合以上考虑，本文通过以下融合公式将两种预测结果进行融合估计，为反馈控制环节提供角位移反馈，则k + i时刻的角位移估计为

\begin{matrix} α_{E} (k + i) = \frac{w_{p}}{w_{m} + w_{p}} α_{m} (k + i) + \\ \frac{w_{m}}{w_{m} + w_{p}} α_{p} (k + i), \end{matrix}

(8)

其中:

w_{p} = (Δ t_{1} (k + i) + c) Δ α_{p}^{2} (k_{1})

(9)

w_{m} = (Δ t_{m} (k + i) + c) Δ α_{m}^{2} (k_{1})

(10)

式中: ∆t_l（k + i）代表进行融合估计的时刻距上个产生角位移实测值的时刻t_l所经过的时间，∆t_m（k+ i）代表融合估计的时刻距其所依据的致动器位移采样时刻所经过的时间. c为决定融合结果关于时间因素敏感性的常数，当预测模型越准确，则其可取越小的值. 上述角位移融合估计方法在第k + i采样时刻的运行示意图如图7所示.

4.3.2 反馈控制器

通过前述角位移估计方法，在每个控制步，控制器能分别得到关于角位移的估计结果

{\hat{α}}_{pitch}

和

{\hat{α}}_{yaw}

，进而得到二者关于其对应目标角位移及下一目标的相对误差，即

e (k) = [\begin{matrix} {\bar{α}}_{pitch} (k) {\bar{α}}_{yaw} (k) \end{matrix}] - [\begin{matrix} {\hat{α}}_{pitch} (k) {\hat{α}}_{yaw} (k) \end{matrix}],

(11)

\begin{matrix} e^{-} (k + 1) = [{\bar{α}}_{pitch} (k + 1) {\bar{α}}_{yaw} (k + 1)] - \\ [{\hat{α}}_{pitch} (k) {\hat{α}}_{yaw} (k)], \end{matrix}

(12)

其中:

{\bar{α}}_{pitch}

和

{\bar{α}}_{yaw}

分别代表两个目标姿态角，e（k）为对前一个控制目标的跟踪误差，e⁻（k + 1）为当前角位移与下一时刻控制目标之间的差距.

图7融合过程示意图

Fig.7The scheme of fusing estimation

由于图4中的DIC环节将各方向上的运动学关系进行了解耦，而MPC控制器又将制动单元的非线性进行了单独处理，因此在反馈控制环节，角位移微调控制平台这个二输入–二输出耦合非线性系统已经被转化为两个独立的线性系统，只需根据上述误差，分别计算各目标角位移上应叠加的修正量，即可进行反馈控制. 通过类比例–积分（PI）控制器得到的目标角位移修正量为

δ = K_{P} (e^{-} (k + 1) + e (k)) + K_{I} \sum_{i = 0}^{k} e (i),

(13)

其中: δ 即为图4中的修正控制量[δ_pitch δ_yaw]，K_P和 K_I则分别为PID控制器中的比例系数和积分系数. 积分项由实际误差累积得到，而比例项则由e⁻（k + 1）和e（k）共同组成. 该形式的比例项意义在于，在将控制对象看作增益为1的线性系统时，用已确定的系统传递误差去补偿当前状态与下一时刻目标之间的差距，形成预测误差，提高控制器对动态误差的敏感性，从而改善其对动态目标的跟踪性能，又避免了使用较大的比例系数可能造成的不稳定. 最终，补偿后的目标角位移被作为DIC的控制目标传递到逆运动学模型的输入端，即

{\bar{α}}_{i n} = [{\bar{α}}_{pitch} + δ_{pitch} {\bar{α}}_{yaw} + δ_{yaw}] .

(14)

至此，整个二维姿态角位移控制系统已构建完毕，第5节将通过角位移跟踪控制实验对所提方法进行验证.

5 实验与分析

5.1 实验配置

本节基于图1所示机构、一套自研压电致动器驱动系统以及一台SIOS SP2000TR型三线激光干涉仪对所提方法进行验证. 其中，激光干涉仪利用三线法测角位移原理如图8所示，基于三光束各自测得的距离差可通过简单几何计算得到目标平面小范围内的角度/角位移. 该测量结果作为控制系统中的角位移实测值，同时也作为验证实验的评价依据.

图8三线激光干涉仪测角原理

Fig.8The principle of angular measurement by tribeam laser interferometer

为说明所提方法对运动机构精密性的低依赖性，本文通过两种不同的机构装配形式对所提方法进行验证，如图9所示，分别模拟一般装配误差条件下和极端装配误差（各方向强耦合）条件下的控制任务.

图9镜片装配方式

Fig.9The configuration of mirror

5.2 角位移跟踪实验

首先，在一般装配误差条件下进行实验，由于运动轴方向和测量方向基本一致，各方向间仅有微弱的耦合关系. 以致动器未上电时的初始状态为基准（角位移为0），将目标偏转角和目标俯仰角设定为不同相位正弦信号的组合，使用所提方法对其进行跟踪控制，分别与仅有实测位移反馈和仅有模型预测反馈的直接逆–反馈复合控制方法进行比较.

典型跟踪曲线如图10–11所示，其它实验结果如表1所示，表中以实测角位移与目标角位移之间的均方根误差（root mean square error，RMSE）（RMSE =

\sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i}^{N} {e r r}_{i}^{2}} ， {e r r}_{i}

为i时刻误差）表征各控制方法跟踪准确度. 实验表明，所提方法针对所给定的二维目标角位移轨迹组合，可实现

{0.4}^{''}

以下角位移跟踪RMSE，在各组实验中均明显优于直接使用测量值作为反馈的控制方法.

图10相位差90^◦目标角组合正弦跟踪表现

Fig.10Tracking performance for sinusoidal objectives with 90^◦ phase difference

由于提供角位移实测值的激光干涉仪采样速率低于控制频率，在动态轨迹跟踪时，其稀疏的角位移误差反馈难以准确反映轨迹的实际变化，因此仅依赖于实测值作为反馈的控制方法跟踪效果较差. 而基于底层致动器位移测量结果利用正运动学模型提供预测角位移进行反馈控制的方法，则受限于预测模型的精度，当模型精度不佳时（如表中相位差270^◦时的俯仰角跟踪），跟踪效果受到很大影响. 而所提方法尽管也基于同样的实测设备和相同的预测模型，但融合二者之后的反馈信息更为准确且稳定，因此所提方法有效利用模型预测弥补了实测值反馈不及时的问题，同时也利用实测值对模型预测的较大误差进行了有效修正.

图11所提方法的随机目标轨迹跟踪表现

Fig.11Tracking performance for random trajectory by proposed method

表1姿态角位移跟踪表现

Table1Performance in angular tracking

注: ^a该组实验中模型误差较大导致预测精度较低. ^b该组实验使用随机波形，因此各次实验目标轨迹不一致，结果仅供参考，但长时间（60 s）随机目标跟踪RMSE比较结果对反映实际性能差距仍然具有统计意义.

进而，对图9右侧示意图所示极端装配误差情况下的跟踪控制也进行了实验验证. 由于此时等效旋转轴与激光干涉仪采样基准间已有很大的偏差，各实际旋转角与目标姿态角之间存在较强的耦合关系，加之机构的行程受限，姿态角的状态空间中出现了一些无法到达的死区，如图12所示. 可见在不可到达状态之外，所提方法仍能有效地进行跟踪. 表2所列各项均为避开死区后的测试结果.

从表2的结果可见，当线性制动单元位移–姿态角位移转换关系中各自由度间存在较大耦合时，仅基于实测角位移反馈和仅基于模型预测反馈的控制方法相比于装配误差较小时的情况均出现了跟踪误差变大的问题，而基于融合反馈的方法则保持了

{0.4}^{''}

以下 RMSE的较好跟踪表现.

图12机构无法到达的角位移死区

Fig.12The dead zone inaccessible by mechanism

表2极端装配误差下的跟踪表现

Table2Tracking performance with extreme assembly errors

为更直观地说明所提方法在极端装配误差下对耦合影响的抑制能力，以其中一个姿态角正弦运动，另一姿态角设定固定目标并互相交替模式的形式进行定角控制实验，结果如图13及表3所示.

图13所提方法的定角控制表现及3种方法的误差对比

Fig.13The performance of proposed method in constant control, and error comparison among the three methods

实验表明，模型预测的反馈受运动耦合影响较大; 且随着运动自由度运动频率的提升，定角控制的误差进一步变大，但所提方法在各实验频点下都保持了较低的控制误差，说明其对装配精度的兼容性较强.

表3定角控制表现

Table3Performance in constant angle control

注: 表中RMSE仅指定值段均方根误差.

6 总结

本文提出了一种基于数据驱动模型和姿态位移估计反馈的微动平台角位移复合控制方法，降低了高精度角位移控制对机构精度和传感器采样速率的要求. 所提方法首先利用运动机构的输入输出数据，通过神经网络建立正、逆运动学模型，并基于模型分别实现角位移的预测和直接逆控制. 进而，通过融合实际测量数据和模型预测结果，在传感器低采样率条件下实现了高频次的角位移反馈，进而与直接逆控制结合形成前馈–反馈复合控制. 所提方法的有效性在角位移跟踪实验中得到了验证，在所进行的各项跟踪测试中均取得了

R M S E ⩽ {0.4}^{''}

的跟踪控制表现，对于纯反馈方法表现出较大优势，对微动平台的低成本化和灵活使用提供了一定的参考价值.

图1二自由度姿态微调平台

Fig.12-DOF attitude adjuster

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图2基本运动单元

Fig.2Basic motion unit

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图3压电致动器位移非线性模型预测控制器框架

Fig.3The framework of nonlinear model predictive controller (NMPC) for displacement of piezoelectric actuators

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图4二自由度姿态控制系统

Fig.42-DOF attitude control system

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图5神经网络模型结构

Fig.5Structure of neural network model

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图6角位移预测与修正预测

Fig.6The prediction and corrected prediction of angular displacement

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图7融合过程示意图

Fig.7The scheme of fusing estimation

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图8三线激光干涉仪测角原理

Fig.8The principle of angular measurement by tribeam laser interferometer

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图9镜片装配方式

Fig.9The configuration of mirror

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图10相位差90^◦目标角组合正弦跟踪表现

Fig.10Tracking performance for sinusoidal objectives with 90^◦ phase difference

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图11所提方法的随机目标轨迹跟踪表现

Fig.11Tracking performance for random trajectory by proposed method

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图12机构无法到达的角位移死区

Fig.12The dead zone inaccessible by mechanism

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图13所提方法的定角控制表现及3种方法的误差对比

Fig.13The performance of proposed method in constant control, and error comparison among the three methods

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表1姿态角位移跟踪表现

Table1Performance in angular tracking

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表2极端装配误差下的跟踪表现

Table2Tracking performance with extreme assembly errors

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表3定角控制表现

Table3Performance in constant angle control

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图1二自由度姿态微调平台

Fig.12-DOF attitude adjuster

图2基本运动单元

Fig.2Basic motion unit

图3压电致动器位移非线性模型预测控制器框架

Fig.3The framework of nonlinear model predictive controller (NMPC) for displacement of piezoelectric actuators

图4二自由度姿态控制系统

Fig.42-DOF attitude control system

图5神经网络模型结构

Fig.5Structure of neural network model

图6角位移预测与修正预测

Fig.6The prediction and corrected prediction of angular displacement

图7融合过程示意图

Fig.7The scheme of fusing estimation

图8三线激光干涉仪测角原理

Fig.8The principle of angular measurement by tribeam laser interferometer

图9镜片装配方式

Fig.9The configuration of mirror

图10相位差90^◦目标角组合正弦跟踪表现

Fig.10Tracking performance for sinusoidal objectives with 90^◦ phase difference

图11所提方法的随机目标轨迹跟踪表现

Fig.11Tracking performance for random trajectory by proposed method

图12机构无法到达的角位移死区

Fig.12The dead zone inaccessible by mechanism

图13所提方法的定角控制表现及3种方法的误差对比

Fig.13The performance of proposed method in constant control, and error comparison among the three methods

表1姿态角位移跟踪表现

Table1Performance in angular tracking

表2极端装配误差下的跟踪表现

Table2Tracking performance with extreme assembly errors

表3定角控制表现

Table3Performance in constant angle control

图(13) / 表(3)

引用本文

杜章铭, 周超, 王硕. 带有姿态估计反馈和数据驱动模型的微动平台角位移控制. 控制理论与应用, 2025, 42(3): 473 – 481

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DU Zhangming, ZHOU Chao, WANG Shuo. Angular control with attitudes estimation feedback and datadriven model for fine motion platform. Control Theory & Applications, 2025, 42(3): 473 – 481

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图1二自由度姿态微调平台

Fig.12-DOF attitude adjuster

图2基本运动单元

Fig.2Basic motion unit

图3压电致动器位移非线性模型预测控制器框架

Fig.3The framework of nonlinear model predictive controller (NMPC) for displacement of piezoelectric actuators

图4二自由度姿态控制系统

Fig.42-DOF attitude control system

图5神经网络模型结构

Fig.5Structure of neural network model

图6角位移预测与修正预测

Fig.6The prediction and corrected prediction of angular displacement

图7融合过程示意图

Fig.7The scheme of fusing estimation

图8三线激光干涉仪测角原理

Fig.8The principle of angular measurement by tribeam laser interferometer

图9镜片装配方式

Fig.9The configuration of mirror

图10相位差90^◦目标角组合正弦跟踪表现

Fig.10Tracking performance for sinusoidal objectives with 90^◦ phase difference

图11所提方法的随机目标轨迹跟踪表现

Fig.11Tracking performance for random trajectory by proposed method

图12机构无法到达的角位移死区

Fig.12The dead zone inaccessible by mechanism

图13所提方法的定角控制表现及3种方法的误差对比

Fig.13The performance of proposed method in constant control, and error comparison among the three methods

表1姿态角位移跟踪表现

Table1Performance in angular tracking

表2极端装配误差下的跟踪表现

Table2Tracking performance with extreme assembly errors

表3定角控制表现

Table3Performance in constant angle control

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