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正态–伽马非线性雷达扩展目标跟踪滤波器

doi: 10.7641/CTA.2024.30705

1. 兰州理工大学电气工程与信息工程学院, 甘肃兰州 730050

2. 西安交通大学自动化科学与工程学院, 陕西西安 710049

基金项目: 国家自然科学基金项目(62163023, 61873116, 62366031, 62363023), 甘肃省基础研究创新群体项目(25JRRA058), 中央引导地方科技发展资金项目(25ZYJA040), 甘肃省重点人才项目(2024RCXM86), 甘肃省军民融合发展专项资金项目资助.

详细信息

作者简介

陈辉教授,博士生导师,主要从事目标跟踪和传感器管理等方法的研究,E-mail: huich78@hotmail.com;

王秋菊硕士研究生,目前研究方向为扩展目标跟踪,E-mail: 18894022515@163.com;

连峰教授,博士生导师,主要从事多目标跟踪、信息融合等方面的研究,E-mail: lianfeng1981@xjtu.edu.cn;

韩崇昭教授,博士生导师,主要从事多源信息融合、随机控制与自适应控制、非线性频谱分析等方面的研究,E-mail: czhan@mail.xjtu.edu.cn.

通信作者

陈辉,E-mail: huich78@hotmail.com.

Normal-gamma nonlinear radar extended target tracking filter

CHEN Hui¹ ， WANG Qiu-ju¹ ， LIAN Feng² ， HAN Chong-zhao²

1. School of Electrical and Information Engineering, Lanzhou University of Technology, Lanzhou Gansu 730050 , China

2. Institute of Automation Science and Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an Shaanxi 710049 , China

Funds: Supported by the National Natural Science Foundation of China (62163023, 61873116, 62366031, 62363023), the Gansu Provincial Basic Research Innovation Group of China (25JRRA058), the Central Government’s Funds for Guiding Local Science and Technology Development of China (25ZY JA040), the Gansu Provincial Key Talent Project of China (2024RCXM86) and the Gansu Provincial Special Fund for Military-Civilian Integration Development of China.

摘要

针对复杂异常噪声下的非线性扩展目标跟踪问题, 本文提出了一种正态–伽马非线性雷达扩展目标跟踪滤波器. 首先, 对传统扩展目标建模方式进行了优化, 将运动状态与扩展状态显式且独立的进行表达; 其次, 在量测噪声为异常噪声的情形下, 引入辅助变量表示量测噪声协方差的不确定性, 并将其建模为伽马分布; 同时, 考虑到雷达量测的特殊性, 对原有的非线性量测进行了增广, 以减少非线性量测在转变过程中的信息丢失问题; 最后, 构造相应的扩展目标与群目标跟踪仿真实验, 并通过高斯–瓦瑟斯坦距离对扩展目标跟踪多特征联合估计性能进行评估, 验证了本文所提算法的有效性与稳定性.

关键词

扩展目标 / 异常噪声 / 正态–伽马分布 / 增广非线性量测

Abstract

For the nonlinear extended target tracking with complex anomalous noise, a normal-gamma nonlinear radar extended target tracking filter is proposed in this paper. Firstly, the traditional extended object modeling method is optimized, and the motion state and the extended state are formulated explicitly and independently. Furthermore, when the measurement noise is a abnormal noise, auxiliary variables are introduced to represent the uncertainty of the measurement noise covariance, which is a gamma distribution. Additionally, considering the particularity of radar measurement, the original nonlinear measurement is augmented to reduce the problem of information loss during the measurement transformation. Finally, simulation experiments of extended target and group target tracking are conducted, and the multi-feature joint estimation performance of extended target tracking is assessed using the Gauss-Wasserstein distance, which verifies the effectiveness and stability of the proposed algorithm.

Keywords

extended target / abnormal noise / normal-gamma distribution / augmented nonlinear measurement

1 引言 2 系统建模 3 滤波算法 3.1 预测过程 3.2 更新过程 3.3 非线性增广量测转换 4 仿真验证 4.1 场景构建 4.2 仿真实验 5 结论

1 引言

传统雷达目标跟踪系统中，传感器仅能收集目标在单个时间步长内的单个量测值，此类情况只能将目标视为运动的质点，这就是经典的点目标跟踪假设 ^[1-4] . 然而，在实际的目标跟踪应用中，由于目标形状的复杂性和传感器分辨率的快速提高，点目标跟踪不足以处理当前复杂多变且要求更高的跟踪问题. 高分辨率雷达可提供关于目标当前时刻的一系列稀疏量测集，通过最新的信息融合技术，可对目标的运动状态与形状同时进行跟踪，此类跟踪问题即扩展目标跟踪（extended target tracking，ETT）^[5-8] . 由于涉及到目标多特征信息的跟踪，并有利于对目标进行更精确的识别，ETT在目标跟踪领域已逐渐成为研究热点.

当前对扩展目标跟踪的研究主要集中于椭圆形和不规则形. 随机矩阵模型（random matrix model，RMM）^[9-10]是经典的椭圆形扩展目标的建模方式，采用对称正定随机矩阵将目标形状表示为椭圆，正定随机矩阵服从逆威沙特（inverse Wishart，IW）分布. 在此基础上，Feldmann等 ^[11-13] 通过引入目标形状对量测的影响，进而提高目标形状的估计精度. 为了将椭圆形状参数显式化表达，并具有各自不同的不确定性，Yang ^[14-17] 等提出乘性噪声模型（multiplicative noise model，MNM），该模型将量测方程表征为带有乘性噪声因子的空间分布模型，为实现运动状态和扩展状态的联合估计，引入二阶扩展卡尔曼滤波器（second-order extended Kalman filter，SOEKF），在贝叶斯滤波框架下获得运动状态和扩展状态的联合封闭表达式. 为了弥补经典RMM无法将椭圆长短轴和角度分开独立跟踪的不足，采用逆伽马分布明确表示半轴长度和采用高斯分布表示目标方向 ^[18] . 基于支撑函数（support functions）^[19-20] 的建模是椭圆的另一种建模方式，该模型以横距和跨距对椭圆进行描述. 椭圆形的ETT是建立在稀疏量测集的情形之下，而当量测集数量与精度足够高时，扩展目标的不规则形状估计成为可能. 不规则形状扩展目标跟踪估计方法主要以随机超曲面模型（random hypersurface model，RHM）^[21-23] 与高斯过程模型（Gaussian process，GP）^[24] 最为典型，它们将径向函数以傅里叶级数或高斯过程回归的形式进行拟合，利用尺度收缩因子缩放形态边界，虽然可以达到对量测源分布合理建模的目的，但是，这些方法对量测质量提出了非常苛刻的要求.

以上扩展目标跟踪方法中，RMM是目前基于稀疏量测集中应用最为广泛的椭圆形扩展目标跟踪算法，却存在形状参数的不确定性受制于自由度的影响. 虽然MNM可以有效解决上述问题，但在更新形状参数时需要从原始量测中构造新的伪量测才能进行序贯更新迭代，且在密集量测情况下的序贯更新会增加计算复杂度，导致计算量激增，同时乘性噪声项也增大了量测方程的非线性程度. 此外，RMM和MNM是在高斯假设条件下的扩展目标滤波器，然而，在许多实际应用中，异常的噪声突变和系统故障导致非高斯噪声，继续延用高斯滤波器将使系统跟踪性能大打折扣，故探究一种对于异常噪声而言拓展性和包容性都很好的滤波器就显得格外重要. 针对异常噪声的研究，目前大多数集中于t分布 ^[25-32]，该类研究方法对异常值的鲁棒性主要来源于t分布的似然性， t分布是对尾部较重的高斯分布的推广，它给异常值分配了一个不可忽略的概率. 变分贝叶斯 ^[33] 的方法在处理未知量测噪声中，也是常采用的一种方法. 此外，在点目标跟踪的研究中，目前关于信息论中熵理论 ^[34] 的研究也逐渐被广泛研究，该方法采用最大相关熵准则来替代最小均方误差准则，来实现在非高斯情形下的跟踪.

根据已有模型的不足以及存在的弊端，截止目前，本文需要解决以下3个主要问题:

1）针对现有扩展目标跟踪模型的不足，使形状参数有各自的不确定性度量的同时，简化计算复杂度，使模型的应用范围更广;

2）高斯环境仅在理想条件下存在，而由于异常噪声的影响，高斯滤波器会影响跟踪效果，寻找一个性能更佳、适用性更强的非高斯滤波器迫在眉睫;

3）量测的非线性也影响估计的效果. 传统线性化方法主要为量测转换 ^[35-37]，该方法却受偏差源的影响导致转换偏差，故找寻一个合理且准确的非线性处理方法对于扩展目标滤波性能极其重要.

为解决以上问题，本文提出了一种异常量测噪声下的增广非线性正态–伽马雷达扩展目标滤波器，算法原理如图1所示，本文创新贡献主要为: 首先，研究了在异常量测噪声下的扩展目标跟踪问题; 其次，引入了一种关于状态与辅助变量的新模型，即正态–伽马模型. 在此基础上，通过对量测进行非线性增广，在线性化的过程中更好的保留原始非线性量测所包含的信息，并详细推导了正态–伽马非线性扩展目标跟踪滤波器; 最后，通过仿真实验验证了所提算法的有效性.

图1正态–伽马非线性雷达扩展目标滤波器

Fig.1Normal–gamma nonlinear radar extended target filter

2 系统建模

与现有的随机矩阵模型不同，正态–伽马模型将形状参数作为状态显式的表达出来，假设k时刻扩展目标状态空间描述为

ζ_{k} = (x_{k}, p_{k}),

(1)

其中: x_k是目标的运动状态，可表示为

x_{k} = [\begin{matrix} x y \dot{x} \end{matrix} \dot{y}]^{T} ，

包含位置（x，y），速度

（ \dot{x} ， \dot{y} ）; p_{k} = {[\begin{matrix} θ_{k} l_{k} w_{k} \end{matrix}]}^{T}

是目标的扩展状态，包括目标的长短轴和朝向，且运动状态与扩展状态相互独立.

1）运动状态模型.

通常情况下k时刻的状态空间方程为

x_{k} = F_{k - 1} x_{k - 1} + w_{k - 1},

(2)

其中: x_k∈

R^{n_{x}}

，表示k时刻的运动状态; F_k₋₁是运动状态的状态转移矩阵; w_k₋₁是运动状态的高斯过程噪声，其中 p（w_k₋₁）= N（w_k₋₁; 0，Q_k），Q_k为运动状态过程噪声协方差.

2）扩展状态模型.

随着时间的演化，形状参数也会发生不同程度的变化. 为此将形状参数显式的表达为单个独立的向量，与运动状态相独立，且采用Givens变换 ^[38] 从散射矩阵中提取出形态预参数，以此在卡尔曼滤波中进行数据处理，从而提高运算效率，使形状参数在有不同的不确定性的同时，避免伪量测的构建以及计算量的激增. 故扩展状态空间建模为

p_{k} = F_{k - 1}^{p} p_{k - 1} + w_{k - 1}^{p},

(3)

其中:

p_{k} \in R^{n_{p}}

，表示k时刻的扩展状态;

F_{k - 1}^{p}

扩展状态的状态转移矩阵;

w_{k - 1}^{p}

是扩展状态的高斯过程噪声，其中p（

w_{k - 1}^{p}

）=

N (w_{k - 1}^{p}; 0 ， Q_{k}^{p}) ， Q_{k}^{p}

为扩展状态过程噪声协方差.

3）量测模型.

z_{k} = h (x_{k}, v_{k}),

(4)

其中:

z_{k} = {\{z_{k}^{j}\}}_{j = 1}^{n_{k}} ，

表示k时刻雷达获得的所有量测，量测数n_k是服从均值为λ的泊松分布; h（x_k，v_k）为量测非线性函数，v_k是量测噪声，与初始状态x₀和 p₀无关，且服从非高斯分布. 引入辅助变量τ_k，建立状态空间与辅助变量的联合概率密度函数，如下所示:

p (x_{k}, τ_{k} ∣ Z^{k}) = N G (x_{k}, τ_{k}; {\bar{x}}_{k}, P_{k}, a_{k}, b_{k}),

(5)

其中: τ_k表示量测噪声协方差的不确定性; Z^k ={z₁，z₂，· · ·，z_k}表示前k个时刻所获得的所有量测值的集合;

N G

（·）表示正态–伽马分布，该联合分布考虑到了状态空间与量测噪声之间的影响，且正态–伽马分布是高斯分布的共轭先验，故该形式可以在贝叶斯滤波框架下产生递归估计.

N G

概率密度函数为

\begin{matrix} N G (x_{k}, τ_{k}; {\bar{x}}_{k}, P_{k}, a_{k}, b_{k}) = \\ \frac{{(b_{k})}^{a_{k}}}{|2 π Σ_{k}| Γ (a_{k})} τ_{k}^{\frac{n_{z}}{(2 + a_{k} - 1)}} \times \end{matrix}

e x p \{- \frac{τ_{k}}{2} [2 b_{k} + {(x_{k} - {\bar{x}}_{k})}^{T} P_{k}^{- 1} (\cdot)]\},

(6)

其中: a_k和b_k表示形状参数和速率参数，且a_k >1，b_k >0; 0 <τ_k<∞; Γ（·）表示伽马函数; 本文中 c^TC⁻¹（·）表示c^TC ⁻¹ c;

{\bar{x}}_{k}

和P_k分别表示均值与尺度矩阵.

对状态空间参数x_k进行边缘化处理，可得到其边缘概率密度函数为

\begin{matrix} p (x_{k} ∣ Z^{k}) = \\ \frac{Γ (a_{k} + 1)}{Γ (a_{k})} \frac{1}{{(2 a_{k} π)}^{\frac{n_{z}}{2}}} \frac{1}{{|\frac{b_{k}}{a_{k}} P_{k}|}^{\frac{1}{2}}} \times \end{matrix}

{(1 + \frac{{(x_{k} - {\bar{x}}_{k})}^{T} {(\frac{b_{k}}{a_{k}} P_{k})}^{- 1} (\cdot)}{2 a_{k}})}^{- \frac{2 a_{k} + 1}{2}},

(7)

τ_k为gamma分布，其概率密度函数表示为

\begin{matrix} p (τ_{k} ∣ Z^{k}) = G (τ_{k}; a_{k}, b_{k}) = \\ \frac{{(b_{k})}^{a_{k}}}{Γ (a_{k})} {(τ_{k})}^{a_{k} - 1} e^{- b_{k} τ_{k}} . \end{matrix}

(8)

扩展目标量测点的生成与运动状态以及扩展形态有关，引入收缩因子α来更好的描述形状信息对于量测噪声的影响，量测噪声的表示如下:

R_{L, k} = α E_{k} + P_{L, k}

(9)

式（9）表示传感器实际接收到的量测的散布程度受到形状与传感器误差的共同影响，其中α表征形状对量测噪声的影响程度，通常情况下取

α = \frac{1}{4} .

3 滤波算法

3.1 预测过程

假设时间演化可以用随机过程来描述，这样就可以对预测步骤进行积分，通过 Chapman-Kolmogorov 方程获得预测密度

\begin{matrix} p (x_{k}, τ_{k} ∣ Z_{L}^{k - 1}) = \\ \int_{R^{n_{x}}} p (x_{k} ∣ x_{k - 1}, τ_{k}) p (x_{k - 1}, τ_{k} ∣ Z_{L}^{k - 1}) d x_{k - 1} \end{matrix}

(10)

由于状态 x_k 和辅助变量τ_k是相互独立的，则式（11）成立，即

\begin{matrix} p (x_{k} ∣ x_{k - 1}, τ_{k}) = \\ N (x_{k}; F_{k} x_{k - 1}, Q_{k}) \propto \\ e x p [- \frac{τ_{k}}{2} {(x_{k} - F_{k} x_{k - 1})}^{T} {(τ_{k} Q_{k})}^{- 1} (\cdot)], \end{matrix}

(11)

状态变量x_k和辅助变量τ_k的联合概率密度函数为正态–伽马分布，则预测密度为

\begin{matrix} p (x_{k - 1}, τ_{k} ∣ Z_{L}^{k - 1}) = \\ \int p (τ_{k} ∣ x_{k - 1}, τ_{k - 1}) p (x_{k - 1}, τ_{k - 1} ∣ Z_{L}^{k - 1}) d τ_{k - 1} = \\ N G (x_{k - 1}, τ_{k}; {\bar{x}}_{k - 1}, P_{k - 1 ∣ k - 1}, a_{k ∣ k - 1}, b_{k ∣ k - 1}), \end{matrix}

(12)

a_{k ∣ k - 1} = ρ a_{k - 1 ∣ k - 1},

(13)

b_{k ∣ k - 1} = ρ b_{k - 1 ∣ k - 1},

(14)

其中ρ ∈（0，1]，ρ = 1时对应的噪声为平稳噪声. 由式（10）–（12）可知运动状态预测步滤波密度为

\begin{matrix} p (x_{k}, τ_{k} ∣ Z_{L}^{k - 1}) \propto \\ τ_{k} \frac{n_{x}}{2 + a_{k ∣ k - 1} - 1} \times \\ e x p \{- \frac{τ_{k}}{2} [2 b_{k ∣ k - 1} + (x_{k} - {\bar{x}}_{k - 1}) P_{k ∣ k - 1}^{- 1} (\cdot)]\} . \end{matrix}

(15)

由于运动状态与扩展状态相互独立，其扩展状态 p_k服从高斯分布，概率密度函数为

p (p_{k} ∣ p_{k - 1}) = N (p_{k}; F_{k}^{p} p_{k - 1}, Q_{k}^{p}) .

(16)

一步预测滤波详细公式如下:

1）运动状态.

x_{k ∣ k - 1} = F_{k ∣ k - 1} x_{k - 1 ∣ k - 1},

(17)

τ_{k ∣ k - 1} = \frac{a_{k ∣ k - 1}}{b_{k ∣ k - 1}},

(18)

P_{k ∣ k - 1} = F_{k ∣ k - 1} P_{k - 1 ∣ k - 1} F_{k ∣ k - 1}^{T} + τ_{k ∣ k - 1} Q_{k},

(19)

2）扩展状态.

p_{k ∣ k - 1} = F_{k ∣ k - 1}^{p} p_{k - 1 ∣ k - 1},

(20)

C_{k ∣ k - 1}^{p} = F_{k ∣ k - 1}^{p} C_{k - 1 ∣ k - 1}^{p} {(F_{k ∣ k - 1}^{p})}^{T} + Q_{k}^{p} .

(21)

3.2 更新过程

1）运动状态.

对所有量测求均值后得到其量测中心为

{\bar{z}}_{k} = \frac{1}{n_{k}} \sum_{i = 1}^{n_{k}} z_{L, k}^{i},

(22)

似然函数为

\begin{matrix} p (Z_{L, k} ∣ x_{k}, τ_{k}) = \\ \prod_{i = 1}^{n_{k}} N (z_{L, k}^{i}; H_{k} x_{k}, \frac{R_{L, k}}{τ_{k}}) \propto \end{matrix}

τ_{k}^{\frac{n_{k}}{2}} e x p [- \frac{τ_{k}}{2} {({\bar{z}}_{L, k} - H_{k} x_{k})}^{T} R_{L, k}^{- 1} (\cdot)],

(23)

后验密度可由p

(x_{k} ， τ_{k} ∣ Z_{L}^{k - 1})

演变而来，即

p (x_{k}, τ_{k} ∣ Z_{L}^{k - 1}) \overset{sensor model}{\to} p (x_{k}, τ_{k} ∣ Z_{L}^{k}) .

(24)

由于正态–伽马分布是高斯分布的共轭先验，故后验密度仍为正态–伽马分布，联合式（15）（23）得到k时刻的后验密度，可表示为

\begin{matrix} p (x_{k}, τ_{k} ∣ Z_{L}^{k}) = \\ N G (x_{k}, τ_{k}; {\bar{x}}_{k ∣ k}, P_{k ∣ k}, a_{k ∣ k}, b_{k ∣ k}) \propto \\ τ_{k}^{\frac{n_{x}}{2 + a_{k ∣ k} - 1}} \times \\ e x p \{- \frac{τ_{k}}{2} [2 b_{k ∣ k} + (x_{k} - {\bar{x}}_{k - 1}) P_{k ∣ k}^{- 1} (\cdot)]\} . \end{matrix}

(25)

采用卡尔曼滤波可得到更新步公式，即

a_{k ∣ k} = a_{k ∣ k - 1} + \frac{n_{z}}{2},

(26)

b_{k ∣ k} = \frac{2 b_{k ∣ k - 1} + {({\bar{z}}_{k} - H_{k} x_{k ∣ k})}^{T} P_{L, k}^{- 1} (\cdot)}{2} +

\frac{(x_{k ∣ k - 1} - x_{k ∣ k}) P_{k ∣ k - 1}^{- 1} (\cdot)}{2},

(27)

K_{k} = P_{k ∣ k - 1} H_{k}^{T} S_{k}^{- 1},

(28)

S_{k} = H_{k} P_{k ∣ k - 1} H_{k}^{T} + P_{L, k},

(29)

x_{k ∣ k} = x_{k ∣ k - 1} + (K_{k} \otimes I_{d}) ({\bar{z}}_{k} - H_{k} x_{k ∣ k - 1}),

(30)

P_{k ∣ k} = P_{k ∣ k} 1 - K_{k} S_{k} K_{k}^{T} .

(31)

2）扩展状态.

在一步预测和更新步之间，对扩展形状参数进行数据预处理，主要是提取目标的形状特征（长短轴与旋转角），但由于矩阵分解方法并不唯一，有多种分解方法可供选择，其中包括奇异值分解和特征值分解，而这两种方法得到的正交矩阵并不唯一. 基于此本文采用的矩阵分解方法为Givens变换，Givens变换定义见引理1.

引理 1 如果X是一个d × d维的对称正定随机矩阵，则X可以通过Givens变换转换为对角矩阵，即

R^{T} (θ) X R (θ) = d i a g \{σ_{1}^{*}, σ_{2}^{*}\},

(32)

其中: R （θ）为旋转矩阵，

σ_{1}^{*} ， σ_{2}^{*}

为矩阵特征值， θ ∈

[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}] ， R （ θ ） = [\begin{matrix} c o s θ & - s i n θ \\ s i n θ & c o s θ \end{matrix}]

θ = a r c t a n (- ρ + \sqrt{1 + ρ^{2}}),

(33)

ρ = \frac{X (1,1) - X (2,2)}{2 X (1,2)},

(34)

经过Givens旋转变换之后的X可以写成

X = R (θ) d i a g \{σ_{1}^{*}, σ_{2}^{*}\} R^{T} (θ) .

(35)

在给定的二维椭圆中，其散射矩阵协方差与椭圆主轴长度相关. 故根据引理1采用Givens旋转变换对散射矩阵进行预处理得到形状预参数.

形状参数预处理过程为

S M = Z_{Σ} - P_{L, k},

(36)

其中式（36）目的在于消除量测噪声协方差对于散射矩阵的影响，Z_Σ表示量测散射矩阵，即

Z_{Σ} = \frac{1}{n_{k} - 1} \sum_{i = 1}^{n_{k}} (z_{L, k}^{i} - {\bar{z}}_{k}) {(z_{L, k}^{i} - {\bar{z}}_{k})}^{T} .

(37)

通过上述引理1的应用，矩阵SM可以分解为如下形式:

R^{T} (θ_{k}) [S M R (θ_{k}) = d i a g \{λ_{1}, λ_{2}\},

(38)

其中: θ_k为旋转角; λ₁，λ₂为特征值.

θ_{k} = a r c t a n (- ρ + \sqrt{1 + ρ^{2}})

(39)

ρ = \frac{S M (1,1) - S M (2,2)}{2 S M (1,2)} .

(40)

从Givens变换后的矩阵对角元素中提取目标形状特征，即长短轴

{\tilde{l}}_{k} = 2 \sqrt{λ_{1}}

(41)

{\tilde{w}}_{k} = 2 \sqrt{λ_{2}} .

(42)

综合式（36）–（42），可以得到扩展状态更新前的预处理参数为

\tilde{p} = {[\begin{matrix} θ_{k} {\tilde{l}}_{k} {\tilde{w}}_{k} \end{matrix}]}^{T} .

(43)

联合Givens变换得到的形状预参数和卡尔曼滤波，可得到扩展状态的更新步公式，即

C_{k}^{p y} = C_{k ∣ k - 1}^{p} H_{p}^{T},

(44)

C_{k}^{y y} = H_{p} C_{k ∣ k - 1}^{p} H_{p}^{T} + C_{v}^{p},

(45)

p_{k ∣ k} = p_{k ∣ k - 1} + C_{k}^{p y} {(C_{k}^{y y})}^{- 1} (p_{k ∣ k - 1} - \tilde{p}),

(46)

C_{k ∣ k}^{p} = C_{k ∣ k - 1}^{p} - C_{k}^{p y} {(C_{k}^{y y})}^{- 1} {(C_{k}^{p y})}^{T} .

(47)

3.3 非线性增广量测转换

基于上述正态–伽马雷达扩展目标跟踪滤波算法下，与传统扩展目标跟踪算法类似，滤波过程中所需的是线性条件下的量测，而雷达所接收到的量测为极坐标系下的非线性量测，直观可利用量测转化的算法生成线性伪量测. 而在传统量测转换体系下，由于相关性和偏差源的存在，会导致结果不精准，基于上述限制性因素，本文将引入增广非线性量测以更好地表征原始非线性量测中包含的信息，进一步利用非线性量测中含有的信息来减小线性化过程中产生的误差，并通过统一线性化的方法对增广非线性量测进行线性化处理.

假设原始非线性量测z_k即式（4）的增广非线性量测为y_k = φ（z_k），即

y_{k} = φ (h (x_{k}, v_{k})),

(48)

其中: 增广量测φ（z_k）需满足该假设: φ（h（·））是连续可微的，并且在给定点的邻域内可以用一阶泰勒级数展开充分近似. 在本文中增广非线性形式选用 φ（h）= h² .

根据上述条件，可获得增广后的非线性量测为

z_{k}^{a} = [\begin{matrix} h (x_{k}, v_{k}) \\ φ (h (x_{k}, v_{k})) \end{matrix}],

(49)

根据统一线性化形式可得到

z_{k}^{a} \approx L_{h, φ} (x_{k}, v^{a}) = b^{a} + H^{a} (x - x_{k}) + v^{a},

(50)

其中:

b^{a} = [\begin{matrix} h (x_{k}, 0) \\ φ (h (x_{k}, 0)) \end{matrix}], H^{a} = [\begin{matrix} H \\ H_{y} \end{matrix}],

v^{a} = [\begin{matrix} v \\ v_{y} \end{matrix}], H_{y} = \frac{\partial φ (h (x_{k}, v_{k}))}{\partial h} \frac{\partial h (x_{k}, v_{k})}{\partial x_{k}},

H为原始非线性量测的Jacobian矩阵.

根据式（50）给出的统一线性化形式，求令J最小时的参数x，即

J = {[z_{k}^{a} - L_{h, φ} (x_{k}, v^{a})]}^{T} W^{a} [\cdot],

(51)

对J求偏导数，令其为0

\frac{\partial J}{\partial x} = - 2 {(H^{a})}^{T} W^{a} (z_{k}^{a} - L_{h, φ} (x_{k}, v^{a})),

(52)

其中:

W^{a} = C_{v^{a}}^{- 1} ，

联合式（50）–（52）可得线性化之后的量测以及方差表达式为

z_{L, k} = {[{(H^{a})}^{T} W^{a} H^{a}]}^{- 1} {(H^{a})}^{T} W^{a} ({\tilde{z}}_{k}^{a} + H^{a} x_{k}),

(53)

P_{L, k} = {[{(H^{a})}^{T} W^{a} H^{a}]}^{- 1}

(54)

其中:

{\tilde{z}}_{k}^{a} = z_{k}^{a} - b^{a} - {\bar{v}}^{a} ， W^{a} = C_{v^{a}}^{- 1} ， v^{a}

的一阶、二阶矩分别为

\begin{matrix} {\bar{v}}^{a} = E (v^{a}) = \\ E [\begin{matrix} h (x_{k}, v) - h (x_{k}, 0) \\ φ (h (x_{k}, v)) - φ (h (x_{k}, 0)) \end{matrix}], \end{matrix}

(55)

\begin{matrix} C_{v^{a}} = c o v (v^{a}) = \\ E \{([\begin{matrix} h (x_{k}, v) \\ φ (h (x_{k}, v)) \end{matrix}] - {\bar{v}}^{a}) (\cdot)^{T}\}, \end{matrix}

(56)

根据上述线性化处理，便可得到在正态–伽马滤波过程中所需要的线性量测（53）以及线性化后的方差表达式（54）. 其中滤波过程中

z_{L ， k} = {\{z_{L ， k}^{j}\}}_{j = 1}^{n_{k}}

表示k时刻雷达获得的线性量测，而

Z_{L}^{k} = \{z_{L ， 1} ， z_{L ， 2} ， \dots ， z_{L ， k}\}

表示k个时刻所获得的所有线性量测值的集合.

4 仿真验证

分别设定扩展目标与群目标的不同跟踪场景，对比不同算法的跟踪效果，通过100次独立的蒙特卡洛实验，验证本文所提算法在非高斯噪声下椭圆形扩展目标跟踪上的有效性.

4.1 场景构建

仿真实验中设定目标的长半轴与短半轴分别为 l = 8和w = 6，目标从[100 100]^T位置开始以v=[50 40]^T的速度以常速（constant velocity，CV）和转弯（turn a corne，CT）模型运动，转弯率ω = π/12，设置采样周期为 T = 1 s，系统原始非线性量测维数 d = 2，总采样次数N = 40，扩展目标单个时刻采集的量测数为 n_k，且服从强度为λ = 21的泊松分布. 系统时间演化方程如式（2）–（3）所示，

f_{k - 1} = [\begin{matrix} 1 ， T \\ 0，1 \end{matrix}] ，

对应的状态转移矩阵为

F_{k - 1} = f_{k - 1} \otimes I_{d} ， F_{k - 1}^{ν^{2}} = d i a g {1，1 ， 1} ，

系统状态空间过程噪声为Q= 0.1²× I₄，伽马分布初始参数为a = 2，b = 3，ρ = 1 − e⁻⁴ .

量测非线性函数为

z_{k} = [\begin{matrix} \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ a r c t a n \frac{y}{x} \end{matrix}] + v_{k},

(57)

针对复杂的跟踪环境，设定异常量测噪声为式（58），即

\begin{matrix} p (v_{k}) = \\ 0.98 N (v_{k}; 0, R_{L, k}) + 0.02 N (v_{k}; 0,100 R_{L, k}) . \end{matrix}

(58)

4.2 仿真实验

本文仿真实验中采取4种不同算法进行对比，方案1: 高斯逆Wishart分布下的扩展目标跟踪（Gaussian inverse Wishart，GIW）^[9]; 方案2: 学生t逆 Wishart分布下的扩展目标跟踪（student’s t inverse Wishart，StIW）^[25]; 方案3: 变分贝叶斯下的扩展目标跟踪（variational Bayesian，VB）^[26]; 方案4: 本文所提正态–伽马分布下的扩展目标跟踪（normal Gamma，NG）. 在非高斯噪声设定下对比4种算法滤波后质心轨迹和形状估计的准确性.

1）实验1: 扩展目标跟踪实验.

图2为4种滤波算法下的目标质心轨迹变化，截取 3个具有代表性时刻（初始时刻、中间时刻、终止时刻）的跟踪放大图，从放大图中，可以看出本文所提算法对于质心轨迹的跟踪效果优于其他3种算法.

为验证所提算法性能的有效性与客观性，图3为 100次蒙特卡洛试验下的目标质心跟踪误差图. 从图3中不难看出，在非高斯量测噪声下，学生t逆Wishart随机矩阵模型与变分贝叶斯模型能够相对较好的跟踪上目标的运动轨迹，但是误差相对来说较大，而本文所提算法即正态–伽马模型对于目标轨迹的跟踪误差进一步减小，且稳定性得到了提升.

图2质心轨迹跟踪放大图

Fig.2Magnification of centroid trajectory tracking graph

图3质心估计RMSE

Fig.3RMSE of centroid estimation

目标形状的自适应跟踪性能是衡量扩展目标跟踪算法的核心. 图4为扩展目标形状跟踪图，与质心跟踪图相同，选取对应相同时间段的目标形状轮廓放大图，对比4种算法下的椭圆轮廓跟踪效果，从图4可看出: 由于GIW模型是一个高斯滤波器，故在非高斯量测噪声下对于目标形状的跟踪效果较差，无法应对复杂的非高斯噪声，而学生t逆Wishart模型与变分贝叶斯模型由于在很大程度上包容了噪声的异常分布，所以基本可以跟踪目标形状，但精度较差，而本文所提算法模型对目标形状的跟踪相对来说更贴近目标的真实形状，且在机动过程中的转弯运动中厚尾量测噪声）也能很好的实现对目标形状的跟踪，由此看出，本文所提算法对于扩展目标形状跟踪的准确性以及稳定性都是优于其他算法的.

为更好的对质心轨迹与目标形态轮廓估计跟踪进行联合评价，本文采用常见的高斯–瓦瑟斯坦距离（Gaussian wasserstein distance，GWD）^[39] 对其跟踪性能进行联合评估，对应的GWD值越小，则代表跟踪性能越好.

\begin{matrix} d_{G W D} {(μ_{1}, Σ_{1}, μ_{2}, Σ_{2})}^{2} = \\ {‖μ_{1} - μ_{2}‖}^{2} + \end{matrix}

t r \{Σ_{1} + Σ_{2} - 2 \sqrt{\sqrt{Σ_{1}} Σ_{2} \sqrt{Σ_{1}}}\}

(59)

其中: µ₁和µ₂分别表示目标质心的估计值与真实值，Σ₁和Σ₂分别表示扩展形态矩阵的估计值与真实值.

图4扩展目标形态跟踪放大图

Fig.4Magnification of extended target shape tracking graph

图5为各实验方案下的GWD值，能够较好的反映扩展目标运动学与扩展形态多特征联合跟踪的效果，表1是4种实验方案下GWD的统计均值，从表中可以看出本文提出的NG方法下的GWD均值最小，图5和表1二者充分验证了本文所提算法的优越性.

图5椭圆扩展目标GWD

Fig.5GWD of elliptic extended target

表1各方案下GWD的统计均值

Table1Mean statistics of GWD for each strategies

2）实验2: 复杂群目标跟踪实验.

设置群目标跟踪场景，群目标队列由19个子目标组成，不同子目标相互之间的间隔为2 m，如图6所示. 群整体从位置[100 100]^T开始，以CV模型运动，其速度为v = [50 40]^T，设置采样周期为 T = 1 s，总采样次数N = 40.

图6群目标队列形式

Fig.6Group target queue form

图7为群目标质心轨迹跟踪图，对比不同时刻不同算法的跟踪效果，即选取开始、中间及末尾时段的跟踪效果并放大，由此可以看出: 在非高斯噪声环境中，本文所提算法对于质心跟踪效果依旧是优于其他滤波算法，跟踪性能提升明显.

图7群质心轨迹跟踪放大图

Fig.7Magnification of Group centroid trajectory tracking graph

为进一步评估上述群目标质心轨迹的跟踪效果，本文采用均方根误差（root mean squared error，RMSE）来评价对目标质心的跟踪质量. 图8为各实验方案下的质心估计的RMSE，从图8中能够明显看出本文所提算法对于群质心轨迹的跟踪最为准确，跟踪误差逐渐减小，跟踪性能逐步提升.

图8群质心估计RMSE

Fig.8RMSE of group centroid estimation

图9为群目标形态跟踪的放大图，选取与质心跟踪相同的时间段（开始、中间、末尾）对形状跟踪进行放大与分析，由于方案1是标准高斯滤波器，故在该仿真环境中的跟踪效果较差，方案2与方案3虽然可以较好的对形状进行跟踪，但对方向角的估计误差较大，而方案4即本文所提算法对于群目标形状大小以及方向角的跟踪的准确性要明显优于其他算法.

图9群目标形态跟踪放大图

Fig.9Magnification of Group target shape tracking graph

图10为对照组基于100次蒙特卡洛实验下的GWD 统计，表2为蒙特卡洛实验下的GWD均值，从图10滤波器对环境复杂扰动（异常噪声）下的扩展目标多特征跟踪效果，以及在跟踪时间内滤波器的稳健跟踪，联合验证了所提算法的鲁棒性和稳定性.

5 结论

本文提出了一种异常噪声下的正态–伽马非线性雷达扩展目标跟踪算法. 创新采用伽马分布去描述量测噪声的不确定性，同时引入增广量测以更好的表征非线性量测中含有的信息，并对扩展目标的模型进行了优化，以此来提高异常噪声下的扩展目标跟踪效果，通过扩展目标与群目标仿真场景下的实验仿真，验证了本文算法对扩展目标跟踪具有较好的准确性与稳定性.

图10椭圆扩展目标GWD

Fig.10GWD of elliptic extended target

表2各方案下GWD的统计均值

Table2Mean statistics of GWD for each strategies

图1正态–伽马非线性雷达扩展目标滤波器

Fig.1Normal–gamma nonlinear radar extended target filter

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图2质心轨迹跟踪放大图

Fig.2Magnification of centroid trajectory tracking graph

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图3质心估计RMSE

Fig.3RMSE of centroid estimation

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图4扩展目标形态跟踪放大图

Fig.4Magnification of extended target shape tracking graph

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图5椭圆扩展目标GWD

Fig.5GWD of elliptic extended target

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图6群目标队列形式

Fig.6Group target queue form

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图7群质心轨迹跟踪放大图

Fig.7Magnification of Group centroid trajectory tracking graph

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图8群质心估计RMSE

Fig.8RMSE of group centroid estimation

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图9群目标形态跟踪放大图

Fig.9Magnification of Group target shape tracking graph

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图10椭圆扩展目标GWD

Fig.10GWD of elliptic extended target

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表1各方案下GWD的统计均值

Table1Mean statistics of GWD for each strategies

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表2各方案下GWD的统计均值

Table2Mean statistics of GWD for each strategies

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图1正态–伽马非线性雷达扩展目标滤波器

Fig.1Normal–gamma nonlinear radar extended target filter

图2质心轨迹跟踪放大图

Fig.2Magnification of centroid trajectory tracking graph

图3质心估计RMSE

Fig.3RMSE of centroid estimation

图4扩展目标形态跟踪放大图

Fig.4Magnification of extended target shape tracking graph

图5椭圆扩展目标GWD

Fig.5GWD of elliptic extended target

图6群目标队列形式

Fig.6Group target queue form

图7群质心轨迹跟踪放大图

Fig.7Magnification of Group centroid trajectory tracking graph

图8群质心估计RMSE

Fig.8RMSE of group centroid estimation

图9群目标形态跟踪放大图

Fig.9Magnification of Group target shape tracking graph

图10椭圆扩展目标GWD

Fig.10GWD of elliptic extended target

表1各方案下GWD的统计均值

Table1Mean statistics of GWD for each strategies

表2各方案下GWD的统计均值

Table2Mean statistics of GWD for each strategies

图(10) / 表(2)

引用本文

陈辉, 王秋菊, 连峰, 等. 正态–伽马非线性雷达扩展目标跟踪滤波器. 控制理论与应用, 2025, 42(10): 1894–1903

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CHEN Hui, WANG Qiuju, LIAN Feng, et al. Normal-gamma nonlinear radar extended target tracking filter. Control Theory & Applications, 2025, 42(10): 1894–1903

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图1正态–伽马非线性雷达扩展目标滤波器

Fig.1Normal–gamma nonlinear radar extended target filter

图2质心轨迹跟踪放大图

Fig.2Magnification of centroid trajectory tracking graph

图3质心估计RMSE

Fig.3RMSE of centroid estimation

图4扩展目标形态跟踪放大图

Fig.4Magnification of extended target shape tracking graph

图5椭圆扩展目标GWD

Fig.5GWD of elliptic extended target

图6群目标队列形式

Fig.6Group target queue form

图7群质心轨迹跟踪放大图

Fig.7Magnification of Group centroid trajectory tracking graph

图8群质心估计RMSE

Fig.8RMSE of group centroid estimation

图9群目标形态跟踪放大图

Fig.9Magnification of Group target shape tracking graph

图10椭圆扩展目标GWD

Fig.10GWD of elliptic extended target

表1各方案下GWD的统计均值

Table1Mean statistics of GWD for each strategies

表2各方案下GWD的统计均值

Table2Mean statistics of GWD for each strategies

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