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空间机器人的预设性能固定时间终端滑模控制

doi: 10.7641/CTA.2024.30763

1. 湖南工商大学计算机学院, 湖南长沙 410205

2. 湘江实验室, 湖南长沙 410205

3. 清华大学航天航空学院, 北京 100084

基金项目: 湘江实验室重大项目(23XJ01009), 教育部人文社科基金项目(24YJCZH127), 湖南省自然科学基金项目(2023JJ40231), 湖南省社会科学基金项目(23YBQ088), 长沙市社科基金项目(2024CSSKKT08)资助.

详细信息

作者简介

雷荣华讲师,硕士生导师,博士,目前研究方向为空间机器人动力学与控制研究,E-mail: leironh@163.com;

艾志鹏硕士研究生,目前研究方向为空间机器人动力学与控制研究,E-mail: 1075151501@qq.com;

付晓东博士后,目前研究方向为空间机器人动力学与控制研究,E-mail: fuxiaodong@mail.tsinghua.edu.cn.

通信作者

付晓东，E-mail: fuxiaodong@mail.tsinghua.edu.cn

Fixed-time terminal sliding mode control with prescribed performance for space robot

LEI Rong-hua^1,2 ， AI Zhi-peng^1,2 ， FU Xiao-dong³

1. School of Computer Science, Hunan University of Technology and Business, Changsha Hunan 410205 , China

2. Xiangjiang Laboratory, Changsha Hunan 410205 , China

3. School of Aerospace Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084 , China

Funds: Supported by the Major Program of Xiangjiang Laboratory (23XJ01009), the Humanities & Social Sciences Project of the Ministry of Education of China (24YJCZH127), the Natural Science Foundation of Hunan Province (2023JJ40231), the Social Science Foundation of Hunan Province (23 YBQ088) and the Social Science Foundation of Changsha City (2024CSSKKT08).

摘要

针对存在不确定参数和外部扰动的刚性空间机器人, 本文设计了一个新型的低抖振预设性能固定时间终端滑模控制方法. 借助拉格朗日法建立刚性空间机器人的动力学模型, 结合模型不确定项及外部扰动项得到系统的混合不确定项. 为了保证空间机器人的稳态和瞬态跟踪性能, 根据跟踪误差与固定时间预设性能函数构建了系统的误差转换函数. 借助误差转换函数, 设计了一个固定时间终端滑模面, 并据此提出一个新型的低抖振预设性能固定时间终端滑模控制器. 根据Lyapunov稳定性理论, 证明了该控制器可确保空间机器人跟踪误差全局固定时间收敛, 且收敛时间与系统初始状态无关. 数值仿真结果验证了所提出控制器的有效性和优越性.

关键词

预设性能 / 固定时间 / 空间机器人 / 模型不确定 / 终端滑模控制

Abstract

A novel low-chattering fixed-time terminal sliding mode control method with prescribed performance is designed for rigid space robot subjected to uncertain parameter and external disturbance. The dynamic model of rigid space robot is established by using the Lagrangian method, and the mixed uncertainty term of the system is obtained by combining the model uncertainty term with external disturbance term. In order to ensure the steady-state and transient tracking performance of the space robot, an error transformation function of the system is constructed based on the tracking error and the fixed-time prescribed performance function. By utilizing the error transformation function, a fixed-time terminal sliding mode surface is designed, and based on which a new type of low-chattering fixed-time terminal sliding mode controller with prescribed performance is proposed. According to the Lyapunov stability theory, it has been proven that the proposed controller can ensure global fixed-time convergence of the tracking error for the space robot, and the convergence time is independent from the initial state of the system. The numerical simulation results verified the effectiveness and superiority of the presented controller.

Keywords

prescribed performance / fixed time / space robot / uncertain parameter / terminal sliding mode control

1 引言 2 问题陈述和准备工作 2.1 动力学建模 2.2 引理与定义 3 控制器设计 3.1 固定时间预设性能函数设计 3.2 固定时间终端滑模设计 3.3 预设性能固定时间终端滑模控制器设计 4 稳定性分析 5 数值仿真 6 总结

1 引言

随着航天技术的发展，空间机器人在空间站建造与维护、空间资源探测等任务中发挥着日益广泛的作用. 然而，太空环境复杂多变，空间机器人不可避免地承受离子射流、太阳风暴等因素干扰，并且系统自身存在固有的参数不确定、建模误差等问题，从而为系统精确控制带来较大挑战 ^[1-2] . 为在有限时间或固定时间内实现空间机器人的快速高精度控制，相关学者进行了积极的探讨与研究.

近年来，部分学者针对各类机械臂系统提出了有限时间控制方法，并取得了有效的控制效果 ^[3-6] . 然而，有限时间控制高度依赖系统的初始状态，这意味着当系统的初始误差过大或未知时，系统难以或无法在有限时间内完成既定任务. 为解决这一难题，Polyakov ^[7] 提出了固定时间收敛的概念，它能保证系统在任意初始状态下都能在固定时间内收敛，且收敛时间只与控制参数有关. 基于此，针对空间机器人在阻抗环境中的作业问题，文献 ^[8] 结合深度学习与传统控制器提出了一种新型分数阶固定时间滑模控制器. 针对存在外部干扰的柔性空间机器人，文献 ^[9] 结合反演法提出了一种基于固定时间收敛的阻抗控制方法，解决了反演控制方法中的“微分项膨胀”问题. 文献 ^[10] 引入了一种新型低抖振全局非奇异固定时间终端滑模控制策略，显著提升双臂空间机器人末端执行器的跟踪精度. 针对存在外部干扰的空间机器人，文献 ^[11] 结合反演法与加幂积分法提出了一种新的固定时间跟踪控制方法，保证了跟踪误差固定时间内收敛至原点的邻域内. 针对输出约束下空间机械臂的控制问题，文献 ^[12] 提出了一种固定时间自适应神经网络容错控制方法，确保了系统输出在预设范围之内.

然而，上述研究仅侧重于维持系统的稳态性能，而忽略了系统的瞬态性能. 为此，Bechlioulis等 ^[13] 率先使用预设性能函数来约束系统的收敛误差和最小收敛速度. 随后，预设性能控制被广泛应用于各种类型的非线性系统中. 针对参数不确定的空间机械臂，文献 ^[14] 和文献 ^[15] 分别提出了一种预设性能自适应控制器和预设性能鲁棒控制器，保证了跟踪误差的渐近收敛. 针对存在输入约束的不确定空间机器人，文献 ^[16] 和文献 ^[17] 分别结合反演法、自适应学习法设计了一种预设性能跟踪控制器，保证了跟踪误差的最终一致有界收敛. 针对空间机械臂动力学捕获系统和航天器姿控系统，文献 ^[18-19] 借助扰动观测器，提出了两种不同的预设性能有限时间控制器. 针对存在输入饱和的不确定空间机械臂，文献 ^[20] 结合神经网络提出了一种固定时间抗饱和滑模控制方案，但其控制器结构复杂且会消耗较多的星载计算资源. 由此可知，目前关于空间机器人预设性能固定时间控制的相关研究鲜见报道.

基于以上分析，针对存在不确定参数和外部扰动的刚性空间机器人，本文借助误差转换法设计了一种预设性能固定时间终端滑模控制器，所提方法的主要创新点如下:

1）结合固定时间预设性能函数与误差转换法，将空间机器人的轨迹跟踪控制问题转化为转换误差的预设边界控制问题，保证了系统跟踪误差的稳态和瞬态性能;

2）将非线性光滑函数引入至固定时间终端滑模面及固定时间预设性能控制器，并把不连续的符号函数被替换为连续的饱和函数，保证了控制器的全程连续性，从而消除了控制力矩的抖振问题.

2 问题陈述和准备工作

2.1 动力学建模

漂浮基空间机器人统结构如图1所示，其主要由漂浮式载体（基座）B₀、机械臂B₁和B₂及若干传感器、执行机构等组成. 为了节省空间燃料，仅对载体姿态进行控制. 建立系统的惯性坐标系 OXY 和各分体 B_i（i = 0，1，2）的主轴连体基（O_i，x_i）. O_c_i 为分体B_i 的质心; O₁，O₂分别为联结B₀与B₁、B₁与B₂的关节转动铰中心; 分体 B_i 的质量和转动惯量分别为 m_i和J_i; O₀ 与O₁之间的距离为d₀; 机械臂B_j的长度为 d_j; θ₀为载体姿态角; θ₁和θ₂为刚性臂杆的转动角.

图1漂浮基空间机器人系统

Fig.1Diagram of space manipulator system

空间机器人为无根多体系统，满足动量守恒关系. 借助拉格朗日法，可推导出如下系统动力学方程:

D (q) \ddot{q} + H (q, \dot{q}) \dot{q} + τ_{d} = τ

(1)

其中:

q = {[\begin{matrix} θ_{0} θ_{1} θ_{2} \end{matrix}]}^{T} ， D （ q ） \in R^{3 \times 3}

为系统对称、正定质量矩阵;

H （ q ， \dot{q} ） \dot{q} \in R^{3}

为包含科氏力、离心力的向量;

τ \in R^{3}

为关节力矩;

τ_{d} \in R^{3}

为一个未知但有界的外部扰动.

位置误差e ∈

R

³和速度误差

\dot{e}

∈

R^{3}

表示为

\{\begin{matrix} e = q - q_{d} \\ \dot{e} = \dot{q} - {\dot{q}}_{d} \end{matrix}

(2)

其中q_d，

{\dot{q}}_{d}

为期望跟踪角位置和速度的向量.

所期望的误差性能可以表示为 ^[13]

{\underline{w}}_{i} ρ_{i} (t) < e_{i} (t) < {\bar{w}}_{i} ρ_{i} (t),

(3)

其中: ρ_i（t）为待设计的预设性能函数，

{\underline{w}}_{i}

和

{\bar{w}}_{i}

可以分别记为

{\underline{w}}_{i} = \{\begin{matrix} - η_{i}, e_{i} (0) ⩾ 0, \\ - 1, e_{i} (0) < 0, \end{matrix}

(4)

{\bar{w}}_{i} = \{\begin{matrix} 1, e_{i} (0) ⩾ 0, \\ η_{i}, e_{i} (0) < 0, \end{matrix}

(5)

其中:

0 < η_{i} < 1 ， e_{i} （ t ） （ i = 1，2 ， 3 ）

是向量e 的第i 个元素，e_i（0）是关节i的初始关节角位置误差.

2.2 引理与定义

考虑如下非线性连续系统:

\dot{x} = f (x, ρ), x (0) = x_{0},

(6)

其中:

x \in R^{n}

表示系统状态; 向量

ρ \in R^{n}

为系统可调参数，且

f （ 0 ， ρ ） = 0 .

定义 1 如果系统（6）全局渐近稳定，且其任意解x（t，x₀）均可在有限时间内达到平衡点，即∀t >

T (x_{0}) = 0 : x (t ， x_{0}) = 0 ，其中 T : R^{n} \to R_{+} \cup {0}

被称为稳定时间函数，则系统（6）的原点是全局有限时间稳定的 ^[21] .

定义 2 如果系统（6）的原点是全局有限时间稳定的且稳定时间函数有界，即

\exists T_{m a x} > 0 : \forall x_{0} \in R^{n} ， T (x_{0}) ⩽ T_{m a x} ，

那么系统（6）的原点是全局固定时间稳定的 ^[7] .

定义 3 对于任意的 r >0及向量 y = [y₁ · · · y_n]^T，定义向量Sig^r（y）为

{S i g}^{r} (y) = {[\begin{matrix} {s i g}^{r} (y_{1}) \dots {s i g}^{r} (y_{n}) \end{matrix}]}^{T},

(7)

其中

{s i g}^{r} (y_{i}) = {|y_{i}|}^{r} s g n (y_{i}) ， s g n （ \cdot ）

为符号函数.

引理 1 对于非线性系统（6），如果存在一个正定连续函数

V （ ξ ） : U \to R^{3}

和正常数α，β >0，0 <p <1和q >1，满足

\dot{V} （ ξ ） + α V^{p} （ ξ ） + β V^{q} （ ξ ） < 0

，ξ ∈ U\ {0}，则系统（6）是全局固定时间稳定的，且稳定时间T的上界为 ^[7]

T < T_{m a x} = \frac{1}{α (1 - p)} + \frac{1}{β (q - 1)}

(8)

引理 2 对于一个正常数 α 和连续可微变量x，以下方程成立 ^[22] :

\frac{d | x |^{α + 1}}{d x} = (α + 1) | x |^{α} s g n x,

(9)

\frac{d (| x |^{α + 1} s g n x)}{d x} = (α + 1) | x |^{α} .

(10)

引理 3 对于常数

ξ_{1} ， ξ_{2} ， \dots ， ξ_{n} ⩾ 0

和一个正常数p，以下不等式成立 ^[23] :

\sum_{i = 1}^{n} ξ_{i}^{p} ⩾ {(\sum_{i = 1}^{n} ξ_{i})}^{p}, 0 < p ⩽ 1,

(11)

\sum_{i = 1}^{n} ξ_{i}^{p} ⩾ n^{1 - p} {(\sum_{i = 1}^{n} ξ_{i})}^{p}, 1 < p < \infty .

(12)

引理 4 系统（1）中的动力学矩阵 D（q），H（q，

\dot{q}

）可以表示为 ^[24]

\{\begin{matrix} D (q) = D_{0} (q) + Δ D (q) \\ H (q, \dot{q}) = H_{0} (q, \dot{q}) + Δ H (q, \dot{q}) \end{matrix}

(13)

其中:

D_{0} （ q ） 和 H_{0} （ q ， \dot{q} ）

为模型参数的已知部分，

Δ D （ q ） 和 Δ H （ q ， \dot{q} ）

表示系统的不确定部分.

引理 5 由于空间机器人机体的物理限制，矩阵

D （ q ） ， H （ q ， \dot{q} ）

满足以下有界条件 ^[24] :

M_{m} ⩽ ‖ D (q) ‖ ⩽ M_{M}, \forall q \in R^{n \times n},

(14)

‖ H (q, \dot{q}) ‖ ⩽ H_{M} ‖ \dot{q} ‖, \forall q, \dot{q} \in R^{n \times n},

(15)

其中M_m，M_M和H_M为已知正常数.

引理 6 对于反对称矩阵

D （ q ） - 2 H （ q ， \dot{q} ） ，

有 ^[25]

\begin{matrix} ξ^{T} (\frac{1}{2} D (q) - H (q, \dot{q})) ξ = 0 \\ \forall q, \dot{q}, ξ \in R^{n} \end{matrix}

(16)

引理 7 结合式（1）和式（13），系统的集总不确定项ρ（t）包括外部扰动和自身不确定项，并可写为

ρ (t) = - Δ D (q) \ddot{q} - Δ H (q, \dot{q}) \dot{q} + τ_{d} .

(17)

系统的集总不确定项ρ（t）满足以下有界条件 ^[26] :

‖ ρ (t) ‖ < \bar{ρ}

(18)

其中

\bar{ρ}

为一个已知上界.

3 控制器设计

3.1 固定时间预设性能函数设计

根据预设性能表达式（3），跟踪误差e（t）要求收敛至一个预先确定的任意小的区域内. 这意味着收敛速度不小于预设值，即最大超调量小于预先分配的常数. 满足预设性能要求的关键是借助固定时间预设性能函数使系统的控制性能满足式（3）的要求.

定义 4 如果连续函数

ρ : R_{+} \to R_{+} 满足: 1） ρ

为正数且呈下降趋势;

2） \underset{t \to \infty}{l i m} ρ （ t ） = ρ_{\infty} > 0 ，

则ρ可被定义为预设性能函数 ^[13] .

为保证预设性能函数ρ是固定时间稳定的，将其设计为

ρ_{i} (t) = \{\begin{matrix} (ρ_{0 i} - ρ_{\infty i}) {(1 - \frac{t}{T_{i}})}^{σ_{i}} + ρ_{\infty i} \\ 0 ⩽ t < T_{i} \\ ρ_{\infty i}, t ⩾ T_{i} \end{matrix}

(19)

其中:

0 < ρ_{\infty i} < |e_{i} （ 0 ）| < ρ_{0 i}; T_{i} > 0 和 σ_{i} > 2

为正常数; 常数T_i为ρ_i（t）从最大初始误差ρ₀_i收敛到最大允许的稳态误差ρ_∞_i所需的最大收敛时间;

{\dot{ρ}}_{i} （ t ）

为预先设定的最小收敛速率.

引理 8 所提出的固定时间预设性能函数（19）满足 ^[22] :

1）ρ_i（t）是一个单调递减且连续有界的正函数，且

0 < ρ_{\infty i} ⩽ ρ_{i} （ t ） ⩽ ρ_{0 i} 和 {\dot{ρ}}_{i} （ t ） ⩽ 0;

2）

\underset{t \to T_{i}}{l i m} ρ_{i} （ t ） = ρ_{\infty i} 且 ρ_{i} （ t ） = ρ_{\infty i} (t ⩾ T_{i}) .

注意到固定时间预设性能函数（19）不能直接用于设计控制器，需要进行误差转换来建立其与跟踪误差之间的联系. 转换函数ζ（x）设计为 ^[27]

ζ (x) = \frac{{\underline{w}}_{i} {\bar{w}}_{i} (e x p (x) - 1)}{{\underline{w}}_{i} e x p (x) - {\bar{w}}_{i}} .

(20)

引理 9 ζ（x）是一个连续的严格递增函数，且满足 ^[22]:

1）

\underset{x \to - \infty}{l i m} ζ （ x ） = {\underline{w}}_{i} 且 \underset{x \to + \infty}{l i m} ζ （ x ） = {\bar{w}}_{i};

2）ε₁_i是一个转换误差，且其与误差e_i存在如下关系:

e_{i} = ρ_{i} ζ (ε_{1 i})

(21)

根据引理 9可知，存在

ρ_{i} ζ (ε_{1 i}) \in (w_{i} ρ_{i} ， {\bar{w}}_{i} ρ_{i}) .

通过逆变换用ε₁_i代替跟踪误差e_i以确保系统性能满足式（3）. ζ（x）的逆函数为

ζ^{- 1} (x) = l n (\frac{{\bar{w}}_{i} (x - {\underline{w}}_{i})}{- {\underline{w}}_{i} ({\bar{w}}_{i} - x)}) .

(22)

由引理9可知ζ⁻¹（x）为连续函数，且存在双射映射

\underset{ε_{1 i} \to {\bar{w}}_{i}}{l i m} ζ^{- 1} (ε_{1 i}) = \infty, \underset{ε_{1 i} \to {\underline{w}}_{i}}{l i m} ζ^{- 1} (ε_{1 i}) = - \infty .

根据式（21），ζ（ε₁_i）和转换后的误差ε₁_i可写为

ζ (ε_{1 i}) = \frac{e_{i}}{ρ_{i}}, ε_{1 i} = ζ^{- 1} (\frac{e_{i}}{ρ_{i}}) .

(23)

将ε₁_i对时间t求导，可得

{\dot{ε}}_{1 i} = β_{i} ({\dot{e}}_{i} + α_{i} e_{i}),

(24)

其中α_i和β_i表示为

α_{i} = - \frac{{\dot{ρ}}_{i}}{ρ_{i}}, β_{i} = \frac{ν (\frac{e_{i}}{ρ_{i}})}{ρ_{i}} .

(25)

用ν（x）表示ζ⁻¹（x）对x的导数，即

ν (x) = {\dot{ζ}}^{- 1} (x) = \frac{1}{x - {\underline{w}}_{i}} + \frac{1}{{\bar{w}}_{i} - x} .

(26)

根据式（24）可知，向量

{\dot{ε}}_{1}

及其导数可以记为

\{\begin{matrix} {\dot{ε}}_{1} = ε_{2} = B (\dot{e} + A e), \\ {\dot{ε}}_{2} = B (\ddot{e} + \dot{A} e + A \dot{e}), \end{matrix}

(27)

其中:

A = d i a g \{α_{1} ， \dots ， α_{n}\}

为半正定对角矩阵，

B = d i a g \{β_{1} ， \dots ， β_{n}\}

为正定对角矩阵.

引理 10 式（25）中参数α_i和β_i分别满足α_i>0 和

β_{i} > 2 ρ_{0 i}^{- 1}

^[22]

3.2 固定时间终端滑模设计

首先，将非线性连续函数s^p（x）设计为

(28)

其中: p和δ为两个满足0 <p <1和0 <δ ≤ 1的正常数; l₁，l₂和l₃是关于p和δ的3个常数，可以用以下等式来表示:

l_{1} = (\frac{1}{2} p^{2} - \frac{5}{2} p + 3) δ^{p - 1}

(29)

l_{2} = (- p^{2} + 4 p - 3) δ^{p - 2}

(30)

l_{3} = (\frac{1}{2} p^{2} - \frac{3}{2} p + 1) δ^{p - 3} .

(31)

根据引理2，s p（x）对x的导数为

(32)

另一个非线性函数s^q（x）设计为

s^{q} (x) = {s i g}^{q} (x)

(33)

其中q为一个正常数，s^q（x）对x的导数为

{\dot{s}}^{q} (x) = q | x |^{q - 1} .

(34)

为了简化滑动面和控制器的设计与分析，将下列向量和矩阵定义为

S^{p} (x) = {[\begin{matrix} s^{p} (x_{1}) \dots s^{p} (x_{n}) \end{matrix}]}^{T},

(35)

F^{p} (x) = d i a g \{{\dot{s}}^{p} (x_{1}), \dots, {\dot{s}}^{p} (x_{n})\},

(36)

S^{q} (x) = {[\begin{matrix} s^{q} (x_{1}) \dots s^{q} (x_{n}) \end{matrix}]}^{T},

(37)

H^{q} (x) = d i a g \{{\dot{s}}^{q} (x_{1}), \dots, {\dot{s}}^{q} (x_{n})\} .

(38)

基于向量

S^{p} （ x ）

和

S^{q} （ x ）

设计的固定时间终端滑模曲面为

s = B^{- 1} ε_{2} + K_{1} S^{p} (ε_{1}) + K_{2} S^{q} (ε_{1}),

(39)

其中: 向量 ε₁ 和ε₂ 定义在式（23）（27）中，K₁，K₂ ∈

R^{3 \times 3}

为正定对角矩阵.

3.3 预设性能固定时间终端滑模控制器设计

基于所提出的固定时间滑动面，设计了一种预设性能固定时间终端滑模控制器（preset performance fixed time sliding mode control，PPFTSMC），即

τ = τ_{0} + τ_{1} + τ_{2}

(40)

其中:

τ_{0} = D_{0} (q) ({\ddot{q}}_{d} - \dot{A} e - A \dot{e}) + H_{0} (q, \dot{q}) \dot{q},

(41)

\begin{matrix} τ_{1} = - D_{0} (q) (K_{1} F^{p} (ε_{1}) + K_{2} H^{q} (ε_{1})) ε_{2} - \\ K_{0} {S i g}^{r} (s) - H (q, \dot{q}) s, \end{matrix}

(42)

τ_{2} = - (k + \bar{ρ}) s g n s,

(43)

其中: K₀ ∈

R^{3 \times 3}

为正定对称矩阵，r >1和k >0为正常数.

由于符号函数sgn s是不连续的，故易引发控制力矩抖振. 为了解决这个问题，可把上述控制方案中的符号函数sgn s替换为如下连续的饱和函数sat s:

sat s = \{\begin{matrix} s g n s, | s | > s_{0}, \\ \frac{s}{s_{0}}, | s | ⩽ s_{0}, \end{matrix}

(44)

其中s₀是一个很小的正常数.

定理 1 针对参数不确定且存在外部扰动的空间机器人系统（1），设计式（40）–（43）所示的PPFTSMC 控制器，以下两点结论成立:

1）变换后的误差ε₁_i在设定时间T内全局收敛于一个任意小集合

R_{δ} = \{ε_{1 i} | | ε_{1 i} ∣ ⩽ δ\} ，

然后指数收敛至原点. 设定时间 T_max 的上界包括趋近时间T_r和滑动时间T_s，并且三者之间的关系可以表示为

T ⩽ T_{m a x} = T_{r} + T_{s},

(45)

\begin{matrix} T_{r} ⩽ \frac{2}{k {(m_{1} + m_{2})}^{\frac{1}{2}}} + \\ \frac{2}{n^{\frac{1 - r}{2}} λ_{m i n} (K_{0}) {(m_{1} + m_{2})}^{\frac{r + 1}{2}}}, \end{matrix}

(46)

T_{s} ⩽ \frac{2^{- \frac{p + 1}{2}} ρ_{0 i}}{k_{1 i} (1 - p)} + \frac{2^{- \frac{q + 1}{2}} ρ_{0 i}}{k_{2 i} (q - 1)}

(47)

2）位置跟踪误差e_i可以保持在式（3）所示的预设边界内，并在T_i时间内收敛到式（19）所示的预设稳定区域

R_{b} = \{e_{i} ∣ {\underline{w}}_{i} ρ_{\infty i} < e_{i} < {\bar{w}}_{i} ρ_{\infty i}\} .

4 稳定性分析

步骤 1 在趋近阶段，定义Lyapunov函数为

V_{1} = \frac{1}{2} s^{T} D_{0} (q) s

(48)

将V₁对时间t求导，可得

\begin{matrix} {\dot{V}}_{1} = \\ s^{T} D_{0} (q) \dot{s} + \frac{1}{2} s^{T} {\dot{D}}_{0} (q) s = \\ s^{T} [- (k + \bar{ρ}) s a t s] + s^{T} ρ - s^{T} K_{0} {S i g}^{r} (s) + \\ \frac{1}{2} s^{T} ({\dot{D}}_{0} (q) - 2 H_{0} (q, \dot{q})) s = \\ - k s^{T} s a t s + s^{T} (ρ - \bar{ρ} s a t s) - \\ s^{T} K_{0} {S i g}^{r} (s) ⩽ \\ - k ‖ s ‖ + ‖ s ‖ (‖ ρ ‖ - \bar{ρ}) - \\ s^{T} K_{0} {S i g}^{r} (s) . \end{matrix}

(49)

考虑到式（18）和式（40），式（49）可以表示为

\begin{matrix} {\dot{V}}_{1} ⩽ - k ‖ s ‖ - s^{T} K_{0} {S i g}^{r} (s) ⩽ \\ - k ‖ s ‖ - λ_{m i n} (K_{0}) {(\sum_{i = 1}^{n} {|s_{i}|}^{2})}^{\frac{r + 1}{2}} . \end{matrix}

(50)

根据引理3，式（50）可以表示为

{\dot{V}}_{1} ⩽ - k ‖ s ‖ - n^{\frac{1 - r}{2}} λ_{m i n} (K_{0}) ‖ s ‖^{r + 1} .

(51)

由于

D_{0} （ q ）

可以取为

D_{0} (q) = \frac{2}{m_{1} + m_{2}} I_{n}

(52)

故V₁可以表示为

V_{1} = \frac{1}{m_{1} + m_{2}} ‖ s ‖^{2}

(53)

结合式（53），式（51）可以写为

\begin{matrix} {\dot{V}}_{1} + n^{\frac{1 - r}{2}} λ_{m i n} (K_{0}) {(m_{1} + m_{2})}^{\frac{r + 1}{2}} V^{\frac{r + 1}{2}} + \\ k {(m_{1} + m_{2})}^{\frac{1}{2}} V^{\frac{1}{2}} ⩽ 0 . \end{matrix}

(54)

如引理1所述，当r >1时，滑模面s可以全局收敛于零，趋近时间T_r以式（46）为界.

步骤 2 当滑模面到达s = 0时，则跟踪误差e_i进入滑动阶段，式（39）可写为

ε_{2 i} = - β_{i} (k_{1 i} s^{p} (ε_{1 i}) + k_{2 i} s^{q} (ε_{1 i})),

(55)

由于s^p（ε₁_i）是关于ε₁_i的分段函数，因此有两种情况需要讨论.

情况 1 如果|ε₁_i| >δ，则式（55）可以表示为

ε_{2 i} = - β_{i} k_{1 i} {s i g}^{p} (ε_{1 i}) - β_{i} k_{2 i} {s i g}^{q} (ε_{1 i}) .

(56)

定义Lyapunov函数为

V_{2} = \frac{1}{2} ε_{1 i}^{2},

(57)

将V₂对时间t求导，可得

\begin{matrix} {\dot{V}}_{2} = \\ ε_{1 i} ε_{2 i} = - β_{i} k_{1 i} {|ε_{1 i}|}^{p + 1} - β_{i} k_{2 i} {|ε_{1 i}|}^{q + 1} . \end{matrix}

(58)

通过引理10，式（58）可以表示为

\begin{matrix} {\dot{V}}_{2} < \\ - ρ_{0 i}^{- 1} k_{1 i} 2^{\frac{p + 3}{2}} V_{2}^{\frac{p + 1}{2}} - ρ_{0 i}^{- 1} k_{2 i} 2^{\frac{q + 3}{2}} V_{2}^{\frac{q + 1}{2}} \end{matrix}

(59)

通过引理 1，在滑动阶段，转换误差 ε₁_i可以在式（47）所示的固定时间T_s内收敛到任意小集合R_δ.

情况 2 如果

|ε_{1 i}| < δ ，

则式（55）可以表示为

\begin{matrix} ε_{2 i} = - β_{i} k_{1 i} (l_{1} ε_{1 i} + l_{2} {s i g}^{2} (ε_{1 i}) + l_{3} ε_{1 i}^{3}) - \\ β_{i} k_{2 i} {s i g}^{q} (ε_{1 i}) . \end{matrix}

(60)

将V₂对时间t求导，并将式（29）–（31）代至式（60），得

\begin{matrix} {\dot{V}}_{2} = ε_{1 i} ε_{2 i} = \\ - β_{i} k_{1 i} (l_{1} ε_{1 i}^{2} + l_{2} {|ε_{1 i}|}^{3} + l_{3} ε_{1 i}^{4}) - \\ β_{i} k_{2 i} {|ε_{1 i}|}^{q + 1} = - β_{i} k_{1 i} δ^{p - 1} V_{2} f (V_{2}) - \\ β_{i} k_{2 i} 2^{\frac{q + 1}{2}} V_{2}^{\frac{q + 1}{2}}, \end{matrix}

(61)

其中

\begin{matrix} f (V_{2}) = (p^{2} - 5 p + 6) + 2^{\frac{3}{2}} δ^{- 1} (p^{2} - 4 p + 3) V_{2}^{\frac{1}{2}} + \\ (2 p^{2} - 6 p + 4) δ^{- 1} V_{2} \end{matrix}

(62)

当

|ε_{1 i}| < δ 时， 0 ⩽ V_{2} < \frac{1}{2} δ^{2} ，易得 f (V_{2}) > 0 ，

故式（62）可以表示为

{\dot{V}}_{2} < - β_{i} k_{2 i} 2^{\frac{q + 1}{2}} V_{2}^{\frac{q + 1}{2}} < 0 .

(63)

根据Lyapunov稳定性理论，当|ε₁_i| <δ 时，转换误差ε₁_i将指数收敛于零. 即定理1中的结论1）证毕.

基于上述分析并考虑引理 8，可得 ζ（ε₁_i）∈（

{\underline{w}}_{i}

，

{\bar{w}}_{i}

）. 根据引理9可知，当t >T_i时，ρ_i（t）= ρ_∞_i. 结合式（21），当t >T_i时，跟踪误差e_i满足以下有界条件:

e_{i} \in (ρ_{\infty i} {\underline{w}}_{i}, ρ_{\infty i} {\bar{w}}_{i})

(64)

当t <T_i时，跟踪误差范围可表示为式（3），即定理1中的结论2）证毕.

5 数值仿真

为验证所设计的PPFTSMC 方法的有效性，以图1所示的漂浮基两杆空间机器人为例进行数值仿真. 系统物理参数为 m₀ = 40 kg，m₁= 3 kg，m₂ = 3 kg，d₀ = 1.5 m，d₁ = 3 m，d₂ = 3 m，J₀ = 34 kg · m²，J₁ = 1 kg · m²，J₂= 1 kg · m² . 系统的期望轨迹和扰动分别设计为q_d =[0.3 0.6 0.9]^T（rad），ρ= 0.01 × [sin t cos t sin t]^T（N · m），对比算法选择为有限时间稳定的非奇异快速终端滑模控制方法（nonsingular fast terminal sliding mode control，NSFTSMC）^[6] . 本文控制器控制参数为q = 1.05，p = 0.5， r = 2，k = 1，s₀ = 0.05，

\bar{ρ}

= 6.08，K₀，K₁，K₂ = 0.1I₃.

针对不同初始状态设计如下两种算例: 1）q（0）= [0.1 0.8 0.75]^T（rad）; 2）q（0）= [−0.15 1.05 0.45]^T（rad），两种算例的仿真结果如图2–3所示. 其中: 图2表示在两种算例下控制方法的轨迹跟踪曲线; 图3则表示在两种算例下控制方法的控制输入曲线.

由图2可知，在算例1中，运用本文所提出的PPFTSMC方法，载体姿态和臂杆关节均可在1 s左右实现对期望轨迹的跟踪控制; 而NSFTSMC方法则分别需要（2.1，2，2）s左右. 在算例2中，运用PPFTSMC方法，系统依然可在1 s左右实现期望轨迹的跟踪控制; 而NSFTSMC方法则分别需要（2.4，2.6，2.4）s左右. 进一步观察可知，在初始误差增大后，NSFTSMC方法的跟踪耗时均延长，而PPFTSMC方法的跟踪耗时并没有发生明显变化，这是由于本文所提控制器具有固定时间稳定特性. 由图3可知，在两种不同的初始状态下，PPFTSMC 方法在力矩抖振的抑制方面明显优于 NSFTSMC方法，这是由于本文所提控制器采用了连续的饱和函数. 通过对比可以看出，本文所提PPFTSMC方法的控效果更好.

图2轨迹跟踪曲线

Fig.2Trajectory tracking curves

图3控制输入曲线

Fig.3Control input curves

6 总结

本文针对参数不确定且存在外部扰动的自由漂浮刚性空间机器人，设计了一种预设性能固定时间终端滑模控制器. 基于拉格朗日法建立空间机器人的刚体动力学模型，结合预设性能算法与固定时间理论设计了一种具有预设性能的固定时间终端滑模控制器. 该控制器可以保证系统的跟踪误差收敛至一个预先确定的任意小的区域内，然后指数收敛至原点，同时对最小收敛速率和最大超调量进行约束使其满足预设值，保证了跟踪误差的瞬态性能. 经过适当的矢量和矩阵推广运算，所提出控制器可应用于三维空间机器人的运动控制. 由于该方法兼具高精度、快收敛、强鲁棒等特性，故其在复杂太空环境中具有较大的工程应用潜力.

图1漂浮基空间机器人系统

Fig.1Diagram of space manipulator system

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图2轨迹跟踪曲线

Fig.2Trajectory tracking curves

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图3控制输入曲线

Fig.3Control input curves

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图1漂浮基空间机器人系统

Fig.1Diagram of space manipulator system

图2轨迹跟踪曲线

Fig.2Trajectory tracking curves

图3控制输入曲线

Fig.3Control input curves

图1漂浮基空间机器人系统

Fig.1Diagram of space manipulator system

图2轨迹跟踪曲线

Fig.2Trajectory tracking curves

图3控制输入曲线

Fig.3Control input curves

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