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约束非线性系统的固定时间滤波反步控制

doi: 10.7641/CTA.2024.30807

李爽¹ ，周超² ，王芳¹

1. 燕山大学理学院, 河北秦皇岛 066004

2. 河北农业大学海洋学院, 河北秦皇岛 066003

基金项目: 河北省高等学校科学技术研究项目(ZD2022012), 中央引导地方科技发展资金项目(236Z1601G), 河北省自然科学基金项目(2021203028), 国家自然科学基金项目(62073234)资助.

详细信息

作者简介

李爽硕士研究生,目前研究方向为非线性系统控制,E-mail: 1666018658@qq.com;

周超博士,讲师,目前研究方向为工业系统控制、冶金设备设计及仿真,E-mail: zhouchao@hebau.edu.cn;

王芳博士,教授,目前研究方向为复杂非线性系统控制、飞行控制等,E-mail: wangfang@ysu.edu.cn.

通信作者

王芳,E-mail: wangfang@ysu.edu.cn;Tel.:+86-335-8057027.

Fixed-time filtered backstepping control for a constrained nonlinear system

LI Shuang¹ ， ZHOU Chao² ， WANG Fang¹

1. School of Science, Yanshan University, Qinhuangdao Hebei 066004 , China

2. Ocean College, Hebei Agricultural University, Qinhuangdao Hebei 066003 , China

Funds: Supported by the Science and Technology Project of Hebei Education Department (ZD2022012), the Central Government Guided Local Science and Technology Development S&T Program of Hebei (236Z1601G), the Natural Science Foundation of Hebei Province (2021203028) and the National Natural Science Foundation of China (62073234).

摘要

针对一类带有输出误差约束和外界干扰的非线性系统, 结合固定时间干扰观测器, 本文设计滤波反步控制策略. 首先, 设计预定性能函数, 处理输出误差约束问题. 其次, 利用固定时间滤波器和固定时间干扰观测器, 分别解决反步控制的“计算爆炸”问题和外界干扰问题, 干扰估计误差在固定时间内收敛到零. 再次, 采用Lyapunov理论分析闭环系统是固定时间稳定的, 且输出误差在预设时间内满足约束要求. 最后, 通过比仿真验证控制策略的有效性.

关键词

非线性系统 / 输出误差约束 / 预定性能函数 / 固定时间干扰观测器 / 固定时间控制 / 滤波器

Abstract

Considering a class of nonlinear systems under output error constraints and external disturbances, a filtered backstepping control strategy is proposed by combining with a fixed-time disturbance observer. Firstly, the prescribed performance function is designed to solve the problem of output error constraint. Secondly, a fixed time filter and a fixed-time disturbance observer are designed to respectively tackle the “explosion of complexity” problem and the external disturbances problem, and to ensure that the disturbance estimation error converges to zero within a fixed time. The Lyapunov theory is utilized to analyze the fixed time stability of the closed-loop system, at the same time, the output error meets the constraint requirements in the preset time. Finally, comparative simulation is used to verify the effectiveness of the control strategy.

Keywords

nonlinear system / output error constraint / prescribed performance function / fixed-time disturbance observer / fixed-time control / filter

1 引言 2 问题描述 3 固定时间滤波器设计 4 固定时间干扰观测器设计 5 预设时间反步控制器设计 5.1 预设时间预定性能函数设计 5.2 控制器设计 6 稳定性分析 7 仿真验证 7.1 滤波器的对比仿真 7.2 仿真验证 8 结论

1 引言

近年来，非线性系统控制及其在工程系统中的应用引起了越来越多的关注，如机器人、无人机、高超声速飞行器等系统 ^[1-3] . 反步控制具有系统化和结构化的优势，被广泛应用于非线性系统控制问题中，并取得了大量的研究成果. 当利用传统反步控制进行高阶非线性系统的控制器设计时，会存在“计算爆炸”问题. 滤波器是一种信号处理技术，广泛应用于通信、雷达等领域. 它的主要作用是从含有多种频率成分的信号中提取出特定频率成分，有效的抑制噪声，提高系统的性能. 为了解决“计算爆炸”问题，一阶滤波器 ^[4-5]、指令滤波器 ^[6-8] 和固定时间滤波器 ^[9-14] 应用于反步控制中. 文献 ^[12] 构造了自适应固定时间滤波器，且滤波误差在固定时间内收敛到关于零的任意小邻域. 文献 ^[13] 采用固定时间滤波器有效处理了“计算爆炸”问题，实现了滤波误差的收敛时间不依赖于初始条件.文献 ^[14] 设计了快速收敛固定时间滤波器，保证滤波误差获得更快收敛速度. 本文将设计固定时间滤波器，对反步控制的虚拟控制输入信号进行滤波处理，克服反步控制的“计算爆炸”问题.

工程系统中，被控系统往往受到外界干扰的影响，可能导致控制系统性能的下降. 水下机器人在浅水区域执行任务时容易受到风浪的影响，在深水区域则容易受到水流影响 ^[1] . 四旋翼无人机由于体积小、质量轻，容易受到外界环境的影响，如风的干扰 ^[2] . 高超声速飞行器所处的复杂环境导致其容易受到外界干扰的影响. 解决外界干扰问题常用的方法之一是设计干扰观测器. 干扰观测器将观测到的干扰值用于被控系统的设计中，减小外界干扰对被控系统的影响，提高被控系统的控制性能. 文献 ^[15] 采用积分滑模干扰观测器估计复合干扰，实现了估计误差的有限时间收敛. 文献 ^[16] 针对一类受未知干扰影响的非线性系统，设计了改进的固定时间干扰观测器. 文献 ^[3] 提出了基于滑模理论的固定时间干扰观测器. 文献 ^[17] 设计了固定时间干扰观测器，实现对干扰的有效估计. 文献 ^[18] 利用固定时间干扰观测器对不确定性进行估计，但是文献 ^[16-18] 没有考虑输出误差约束问题. 本文将设计固定时间干扰观测器估计外界干扰，估计误差在固定时间内收敛到零，从而提高控制系统的性能.

高性能控制是实际工程系统对其控制系统的一般要求，这也使得它们一般都要求输出误差满足一定的约束要求. 例如，高超声速飞行器巡航段的控制系统一般要满足: 高度和速度稳定跟踪其参考信号，同时速度跟踪误差和高度跟踪误差保持在约束边界内. 另外，永磁同步电机的角速度控制系统，要实现角速度的稳定跟踪，同时要保证角速度跟踪误差始终在约束边界内. 解决输出误差约束问题的常用方法之一是构造预定性能函数. 文献 ^[19] 针对非线性系统输出误差的预定性能问题，构造了预定性能函数. 考虑输出误差约束影响下的严反馈非线性系统，文献 ^[20] 提出了预定性能反步控制策略. 文献 ^[21] 针对永磁同步电机，设计了有限时间性能函数，其收敛时间只与设计参数有关. 文献 ^[22] 引入预定性能函数，并提出固定时间预定性能控制策略. 文献 ^[23] 在误差转换的基础上，设计了固定时间预定性能控制策略. 文献 ^[24] 提出了固定时间预定性能反步控制策略，使输出误差保持在预设的范围内，但文献 ^[20，23-24] 没有考虑外界干扰问题.

基于以上分析，本文的主要贡献如下: 1）设计新型预定性能函数，提出固定时间反步控制器，实现闭环系统在固定时间内稳定，且输出误差在预设时间内满足约束; 2）为了处理外界干扰，结合终端滑模理论，构造干扰观测器，实现在固定时间内对外界干扰的有效估计，同时估计误差收敛到零; 3）构造固定时间滤波器处理“计算爆炸”问题，与一阶滤波器 ^[4-5] 不同的是，它可以保证滤波误差在固定时间内稳定，且不用选择较小的时间常数，也可以获得较好的估计精度.

2 问题描述

考虑如下非线性系统:

\{\begin{array}{l} {\dot{x}}_{i} = f_{i} ({\bar{x}}_{i}) + g_{i} ({\bar{x}}_{i}) x_{i + 1} + d_{i} (t), \\ {\dot{x}}_{n} = f_{n} ({\bar{x}}_{n}) + g_{n} ({\bar{x}}_{n}) u + d_{n} (t), \\ y = x_{1}, i = 1, 2, \dots, n - 1, \end{array}

(1)

其中:

{\bar{x}}_{i} = {[\begin{matrix} x_{1} \dots x_{i} \end{matrix}]}^{T} \in R^{i} （ i = 1 ， \dots ， n ）

是状态向量; d_i（t）表示系统受到的外界干扰;

x_{i} ， u ， y \in R

分别表示状态、控制输入和输出;

f_{i} ({\bar{x}}_{i})

和

g_{i} ({\bar{x}}_{i})

是已知的光滑函数.

控制目标: 设计滤波反步控制策略，保证闭环系统在固定时间内是有界稳定的; 输出y稳定跟踪参考指令，输出误差在预设时间内满足约束.

为了达到控制目标，引入如下假设和引理:

假设 1 参考指令x_1d和

{\dot{x}}_{1 d}

均已知且有界.

假设 2 存在常数g_i_a，g_i_b >0，满足

0 < g_{i a} ⩽ g_{i} ({\bar{x}}_{i}) ⩽ g_{i b} < \infty, i = 1, \dots, n .

假设 3 对于虚拟控制输入x_i_c，存在未知常数

ϖ_{i} > 0 ， |{\dot{x}}_{i c}| ⩽ ϖ_{i} .

引理 1 ^[12] 考虑系统

\dot{x} = f （ x ） ，

若存在正定函数Y （x），满足

\dot{Y} （ x ） ⩽ - α Y^{v} （ x ） - β Y^{ω} （ x ） + Υ ，

其中: α，β，Υ >0，0 <υ <1，ω >1，0 <δ <1，则称系统是实际固定时间稳定，收敛时间 T₁ 满足:

T_{1} ⩽ 1 / （ α δ （ 1 - v ） ） + 1 / （ β δ （ ω - 1 ） ） .

若Y（x）满足:

\dot{Y} （ x ） ⩽ - α Y^{v} （ x ） - β Y^{ω} （ x ） ，

则称系统是固定时间稳定的，且收敛时间T₂满足:

T_{2} ⩽ 1 / （ α （ 1 - v ） ） + 1 / （ β （ ω - 1 ） ） .

引理 2 ^[17] 考虑不等式

p ⩽ p^{m_{1}} + p^{m_{2}} ，

有

\begin{matrix} - γ_{1} p^{m_{1}} - γ_{2} p^{m_{2}} + γ_{3} p ⩽ \\ - (γ_{1} - γ_{3}) p^{m_{1}} - (γ_{2} - γ_{3}) p^{m_{2}} \end{matrix}

其中:

p ⩾ 0，0 < m_{1} < 1 ， m_{2} > 1 ， γ_{1} ， γ_{2} ， γ_{3} > 0 .

引理 3 ^[12] 存在

χ_{1} ， χ_{2} ， \dots ， χ_{n} ⩾ 0

有

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} χ_{i}^{κ} ⩾ {(\sum_{i = 1}^{n} χ_{i})}^{κ}, 0 < κ ⩽ 1, \\ \sum_{i = 1}^{n} χ_{i}^{κ} ⩾ n^{1 - κ} {(\sum_{i = 1}^{n} χ_{i})}^{κ}, 1 < κ < \infty . \end{matrix}

符号说明: sig^r（·）= | · |^rsgn（·），sgn（·）为符号函数.

f_{i} ({\bar{x}}_{i}) ， g_{i} ({\bar{x}}_{i}) ， d_{i} （ t ） ， P （ t ）

分别用

f_{i} ， g_{i} ， d_{i} ， P

来表示.

注 1 本文设计的基于干扰观测器的固定时间滤波反步控制策略，可以应用到考虑外界干扰和输出误差约束影响的一些实际系统，如永磁同步电机系统 ^[21]、范德堡尔电路系统 ^[25] 等.

3 固定时间滤波器设计

为了解决“计算爆炸”问题，构造如下固定时间滤波器:

τ_{i} {\dot{x}}_{i d} = - l_{i} s g n μ_{i} - {s i g}^{v_{i 1}} μ_{i} - {s i g}^{2 - \frac{1}{v_{i 2}}} μ_{i},

(2)

其中:

l_{i} > 0; v_{i 1} > 1; 0 < 2 - \frac{1}{v_{i 2}} < 1; x_{i c}

是滤波器的输入信号，且为待设计的虚拟控制输入; x_i_d是滤波器的输出信号，用于之后的第4节观测器设计和第5节控制器设计中; τ_i是滤波器的时间常数，且τ_i>0; 滤波误差为µ_i = x_i_d − x_i_c.

滤波误差µ_i的稳定性可以由如下定理概括.

定理 1 考虑固定时间滤波器式（2），若输入信号

{\dot{x}}_{i c} = 0 ，

则滤波误差 µ_i 在固定时间内收敛到零. 若

{\dot{x}}_{i c} \neq 0 ，

则在假设3的条件下，滤波误差µ_i在固定时间内有界稳定.

证选取Lyapunov函数为

Y_{f i} = \frac{μ_{i}^{2}}{2} ， Y_{f i}

关于时间的导数为

\begin{matrix} {\dot{Y}}_{f i} ⩽ \\ - \frac{1}{τ_{i}} ({s i g}^{v_{i 1} + 1} μ_{i} + {s i g}^{3 - \frac{1}{v_{i 2}}} μ_{i}) - μ_{i} {\dot{x}}_{i c} \end{matrix}

(3)

若

{\dot{x}}_{i c} = 0 ，

上式可化为

{\dot{Y}}_{f i} ⩽ - \frac{1}{τ_{i}} ({|μ_{i}^{2}|}^{\frac{v_{i 1} + 1}{2}} + {|μ_{i}^{2}|}^{\frac{3 - \frac{1}{v_{i 2}}}{2}}),

(4)

则µ_i在固定时间T_f内收敛到零，且

T_{f} ⩽ \frac{2 τ_{i} v_{i 2}}{2^{\frac{3 - \frac{1}{v_{i 2}}}{2}} (1 - v_{i 2})} + \frac{2 τ_{i}}{2^{\frac{v_{i 1} + 1}{2}} (v_{i 1} - 1)} .

若

{\dot{x}}_{i c} \neq 0 ，

由Young不等式，式（3）可化为

{\dot{Y}}_{f i} ⩽ - \frac{1}{τ_{i}} ({|μ_{i}^{2}|}^{\frac{v_{i j} + 1}{2}} + {|μ_{i}^{2}|}^{\frac{3 - \frac{1}{v_{i 2}}}{2}}) + \frac{μ_{i}^{2}}{2} + \frac{ϖ_{i}^{2}}{2} .

(5)

当

|μ_{i}| < 1

时，有

{|μ_{i}|}^{3 - \frac{1}{v_{i 2}}} > {|μ_{i}|}^{2} > |μ_{i}| ，

因此

\begin{matrix} {\dot{Y}}_{f i} ⩽ \\ - 2^{\frac{3 - \frac{1}{v_{i 2}}}{2}} ρ Y_{f i}^{\frac{3 - \frac{1}{v_{i 2}}}{2}} - \frac{2^{\frac{v_{i 1} + 1}{2}}}{τ_{i}} Y_{f i}^{\frac{v_{1} + 1}{2}} + \frac{ϖ_{i}^{2}}{2}, \end{matrix}

(6)

其中

ρ = \frac{1}{τ_{i}} - \frac{1}{2} > 0

由式（6）和引理1可以得到µ_i有界稳定，收敛域为

Ω_{1} = m i n \{{(\frac{ϖ_{i}^{2}}{2 ρ_{i}})}^{\frac{1}{3 - \frac{1}{v_{i 2}}}} ， {(\frac{τ_{i} ϖ_{i}^{2}}{2})}^{\frac{1}{v_{i 1} + 1}}\} .

当

|μ_{i}| ⩾ 1

时，有

{|μ_{i}|}^{v_{i 1} + 1} > {|μ_{i}|}^{2} > |μ_{i}| ，

因此

(7)

则滤波误差µ_i有界稳定，收敛域为

Ω_{2} = m i n \{{(\frac{ϖ_{i}^{2}}{2 ρ_{i}})}^{\frac{1}{v_{i 1} + 1}}, {(\frac{τ_{i} ϖ_{i}^{2}}{2})}^{\frac{1}{3 - \frac{1}{v_{i 2}}}}\} .

证毕.

注 2 文献 ^[4-5] 的一阶滤波器通过减小时间常数τ_i加快滤波误差的收敛速度，但滤波误差无法在固定时间内实现稳定，且较小的τ_i会受到采样周期和高频噪声的限制. 相较于文献^[9]提出的固定时间滤波器，本文滤波器式（2）可以实现滤波误差在固定时间内收敛的，同时，在一定程度上，估计精度比文献 ^[9] 的滤波器的估计精度高.

4 固定时间干扰观测器设计

为了处理外界干扰，基于非奇异快速终端滑模理论，设计如下固定时间干扰观测器:

(8)

式中:

{\hat{d}}_{i}

是d_i的估计，估计误差

{\tilde{d}}_{i} = {\hat{d}}_{i} - d_{i} ， λ_{i 1} > 0 ， λ_{i 2} > 0 ， v_{i 1} > 1 ， \frac{1}{2} < v_{i 2} < 1

为待设计参数. s_i表示如下的非奇异快速终端滑模面:

s_{i} = {\dot{\hat{e}}}_{f} + X

(9)

其中:

e_{f} = {\hat{x}}_{i} - x_{i} ， {\hat{e}}_{f}

由滤波器式（2）估计得到，滤波误差为

z_{f} = {\hat{e}}_{f} - e_{f}

估计误差

{\tilde{d}}_{i}

的稳定性可以由如下定理概括.

定理 2 对于固定时间干扰观测器式（8）的干扰估计误差

{\tilde{d}}_{i}

在

t ⩾ T_{d}

时收敛到零，T_d满足

T_{d} ⩽ T_{z_{f}} + \frac{1}{{\bar{λ}}_{1} (v_{i 1} - 1)} + \frac{1}{{\bar{λ}}_{2} (1 / v_{i 2} - 1)}

其中T_zf是滤波误差z_f的收敛时间，

{\bar{λ}}_{2} = 2^{\frac{v_{i 1} (3 - \frac{1}{v_{i 2}})}{2}} λ_{i 1} ， {\bar{λ}}_{1} = 2^{v_{i 1}} λ_{i 2} .

证根据式（1）（8），可得

{\dot{e}}_{f} = {\tilde{d}}_{i} - X

(10)

由定理1可知，当

t ⩾ T_{z_{f}}

时，

z_{f} = 0 ， {\dot{z}}_{f} = 0 ，

式（9）可化为

s_{i} = {\dot{e}}_{f} + X

(11)

将式（10）代入式（11），则

s_{i} = {\tilde{d}}_{i} ，

对s_i求导得

\begin{matrix} {\dot{s}}_{i} = - v_{i 1} {|s_{i}|}^{v_{i 1} - 1} [\frac{λ_{i 1}^{2} v_{i 2} {|s_{i}|}^{v_{i 1}}}{2 v_{i 2} - 1} + \\ \frac{1}{λ_{i 2}} {|s_{i}|}^{v_{i 1} (2 - \frac{1}{v_{i 2}})}] - {\dot{d}}_{i} \end{matrix}

(12)

选取Lyapunov函数为

Y_{s} = \frac{s_{i}^{2}}{2}

，对Y_s求导得

\begin{matrix} {\dot{Y}}_{s} = - s_{i} {\dot{d}}_{i} - [\frac{λ_{i 1}^{2} v_{i 2} v_{i 1} {|s_{i}|}^{2 v_{i 1}}}{2 v_{i 2} - 1} + \\ \frac{v_{i 1}}{λ_{i 2}} {|s_{i}|}^{v_{i 1} (2 - \frac{1}{v_{i 2}}) + v_{i 1}}] ⩽ \\ - {\bar{λ}}_{1} \sum_{i = 1}^{n} Y_{s}^{v_{i 1}} - {\bar{λ}}_{2} \sum_{i = 1}^{n} Y_{s}^{\frac{v_{i 1} (3 - \frac{1}{v_{i 2}})}{2}} . \end{matrix}

(13)

由引理1，

{\tilde{d}}_{i}

在

t ⩾ T_{d}

时收敛到零，T_d满足

T_{d} ⩽ T_{z_{f}} + \frac{1}{{\bar{λ}}_{1} (v_{i 1} - 1)} + \frac{1}{{\bar{λ}}_{2} (\frac{1}{v_{i 2}} - 1)} .

证毕.

注 3 文献 ^[15] 利用积分滑模干扰观测器解决了外界干扰问题，实现了估计误差的有限时间收敛. 文献 ^[3，16-18] 结合固定时间干扰观测器，设计了反步控制策略，但是没有考虑输出误差约束问题.

5 预设时间反步控制器设计

本节首先设计预定性能函数，然后基于固定时间干扰观测器，设计固定时间预定性能反步控制器.

5.1 预设时间预定性能函数设计

为了确保输出误差z₁在预设时间内满足约束，设计如下性能函数:

(14)

其中:

a > 0 ， b ⩾ c > 0，0 < c ⩽ 1 ， T_{c}

是预设时间，

P_{T_{c}} = P (T_{c}) > 0 .

上式关于时间的导数为

(15)

可知

\dot{P} （ t ） < 0 ，

因此，性能函数有如下两个特性:

1）

P （ t ） > 0

是连续函数，

\underset{t \to T_{c}}{l i m} P （ t ） = P_{T_{c}} ，

即P（t）在预设时间T_c内收敛到

P_{T_{c}};

2）P（t）是单调递减函数，

t ⩾ T_{c}

时，P（t）保持在

P_{T_{c}};

不变.

注 4 与文献 ^[19，26] 的性能函数相比，本文的性能函数式（14）的优点如下:

1）文献 ^[19] 的性能函数为

P_{2} (t) = (p_{0} - p_{\infty}) e^{(- a_{2} t)} + p_{\infty},

p₀ >p_∞ >0，a₂>0，P₂（t）在t → +∞时趋于p_∞，收敛时间不能预先确定.

2）文献 ^[26] 的性能函数为

(16)

其中: a₁，b₁，c₁ >0，PT₁ = P（T₁）>0. 其导数为

(17)

观察式（14）（16）可知，式（16）的预设时间T₁由参数b₁，c₁设定，当b₁和c₁满足

T_{1} = \frac{c_{1}}{b_{1}}

时，输出误差在预设时间T₁内收敛到约束区域.

考虑如下3种性能函数: 情形1: 文献 ^[19] 的传统性能函数; 情形2: 文献 ^[26] 的性能函数式（16）; 情形3: 本文的性能函数式（14）. 在相同的初始条件 P（0）= e + 3，P_Tc= 4，T_c= 0.5 s和参数a = a₁ = c = c₁ = 1，b = b₁ = a₂ = 2下，对比曲线如图1所示. 由图1可知，在相同参数和预设时间下，0 <t <T_c内，本文的性能函数式（14）表现出更快的收敛速度.

图13种性能函数对比曲线

Fig.1Compared curves of three performance functions

5.2 控制器设计

步骤 1 输出误差为z₁ =x₁−x_1d，z₁的导数为

{\dot{z}}_{1} = f_{1} + g_{1} (x_{2} - α_{1}) + g_{1} α_{1} + d_{1} - {\dot{x}}_{1 d}

(18)

设计如下误差变换:

e_{1} = \frac{1}{2} l n \frac{k_{L} k_{U} + ξ_{1} k_{U}}{k_{L} k_{U} - ξ_{1} k_{L}}

(19)

其中ξ₁ = z₁/P，对e₁求导得

{\dot{e}}_{1} = ς_{1} (f_{1} + g_{1} (z_{2} + μ_{2} + x_{2 c}) + d_{1} - {\dot{x}}_{1 d} - \frac{z_{1} \dot{P}}{P}),

(20)

其中

ς_{1} = \frac{\frac{1}{k_{L} + ξ_{1}} - \frac{1}{ξ_{1} - k_{U}}}{2 P} .

设计如下虚拟控制输入:

x_{2 c} = g_{1}^{- 1} (- q_{11} \frac{{s i g}^{v_{i 1}} e_{1}}{ς_{1}} - f_{1} - {\hat{d}}_{1} - q_{12} \frac{{s i g}^{2 - \frac{1}{v_{i 2}}} e_{1}}{ς_{1}} + {\dot{x}}_{1 d} + \frac{z_{1} \dot{P}}{P}),

(21)

其中:

q_{11} ， q_{12} > 0; {\hat{d}}_{1}

是d₁的估计，由固定时间干扰观测器式（8）估计得到. 将式（21）代入式（20），可得

\begin{matrix} {\dot{e}}_{1} = - q_{11} {s i g}^{v_{i 1}} e_{1} - q_{12} {s i g}^{2 - \frac{1}{v_{i 2}}} e_{1} + \\ ς_{1} g_{1} z_{2} + ς_{1} g_{1} μ_{2} - {\tilde{d}}_{1} . \end{matrix}

(22)

步骤 2 定义z₂ =x₂−x_2d，x_2d由滤波器式（2）提供. z₂的导数为

{\dot{z}}_{2} = f_{2} + g_{2} (z_{2} + μ_{2} + x_{3 c}) + d_{2} - {\dot{x}}_{2 d}

(23)

设计如下虚拟控制输入:

\begin{matrix} x_{3 c} = g_{2}^{- 1} (- q_{21} {s i g}^{v_{i 1}} z_{2} - f_{2} - {\hat{d}}_{2} - \\ q_{22} {s i g}^{2 - \frac{1}{v_{i 2}}} z_{2} + {\dot{x}}_{2 d} - e_{1} ς_{1} g_{1}), \end{matrix}

(24)

其中:

q_{21} ， q_{22} > 0; {\hat{d}}_{2}

是d₂的估计，由固定时间干扰观测器式（8）估计得到. 将式（24）代入式（23），可得

\begin{matrix} {\dot{z}}_{2} = - q_{21} {s i g}^{v_{i 1}} z_{2} - q_{22} {s i g}^{2 - \frac{1}{v_{i 2}}} z_{2} + \\ g_{2} z_{3} + g_{2} μ_{3} - e_{1} ς_{1} g_{1} - {\tilde{d}}_{2} \end{matrix}

(25)

步骤

i （ 3 ⩽ i ⩽ n - 1 ）

定义z_i =x_i−x_i_d，x_i_d由滤波器式（2）提供. z_i的导数为

{\dot{z}}_{i} = f_{i} + g_{i} (z_{i + 1} + μ_{i + 1} + x_{i + 1, c}) + d_{i} - {\dot{x}}_{i d} .

(26)

设计如下虚拟控制输入:

\begin{matrix} x_{i + 1, c} = g_{i}^{- 1} (- q_{i 1} {s i g}^{v_{i 1}} z_{i} - f_{i} + {\dot{x}}_{i d} - {\hat{d}}_{i} - \\ q_{i 2} {s i g}^{2 - \frac{1}{v_{i 2}}} z_{i} - g_{i - 1} z_{i - 1}), \end{matrix}

(27)

其中:

q_{i 1} ， q_{i 2} > 0; {\hat{d}}_{i}

是d_i的估计，由固定时间干扰观测器式（8）估计得到. 将式（27）代入式（26），可得

\begin{matrix} {\dot{z}}_{i} = - q_{i 1} {s i g}^{v_{i 1}} z_{i} - q_{i 2} {s i g}^{2 - \frac{1}{v_{i 2}}} z_{i} + \\ g_{i} z_{i + 1} + g_{i} μ_{i + 1} - g_{i - 1} z_{i - 1} - {\tilde{d}}_{i} . \end{matrix}

(28)

步骤 n 定义z_n =x_n−x_n_d，x_n_d由滤波器式（2）提供. z_n的导数为

{\dot{z}}_{n} = f_{n} + g_{n} u + d_{n} - {\dot{x}}_{n d}

(29)

设计实际控制输入u

\begin{matrix} u = g_{n}^{- 1} (- q_{n 1} {s i g}^{v_{i 1}} z_{n} - f_{n} + {\dot{x}}_{n d} - {\hat{d}}_{n} - \\ q_{n 2} {s i g}^{2 - \frac{1}{v_{i 2}}} z_{n} - g_{n - 1} z_{n - 1}), \end{matrix}

(30)

其中:

q_{n 1} ， q_{n 2} > 0; {\hat{d}}_{n}

是d_n的估计，由固定时间干扰观测器式（8）估计得到. 将式（30）代入式（29），有

\begin{matrix} {\dot{z}}_{n} = - q_{n 1} {s i g}^{v_{i 1}} z_{n} - q_{n 2} {s i g}^{2 - \frac{1}{v_{i 2}}} z_{n} - \\ g_{n - 1} z_{n - 1} - {\tilde{d}}_{n} . \end{matrix}

(31)

6 稳定性分析

根据Lyapunov理论，证明闭环系统的稳定性.

定理 3 考虑由非线性系统（1）和实际控制输入式（30）组成的闭环系统，满足: 所有信号在固定时间内有界稳定，输出误差z1在预设时间内进入到预设区域（−k_LP（t），k_UP（t））.

证选取Lyapunov函数为

Y = Y_{1} + Y_{2} + \dots + Y_{n} + {\bar{Y}}_{f i} + {\bar{Y}}_{s},

(32)

其中:

Y_{1} = \frac{e_{1}^{2}}{2}, Y_{i} = \frac{z_{i}^{2}}{2}, {\bar{Y}}_{f i} = \frac{\sum_{i = 2}^{n} μ_{i}^{2}}{2}, {\bar{Y}}_{s} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} s_{i}^{2}}{2} .

由定理2可知，当

t ⩾ T_{d}

时，估计误差

{\tilde{d}}_{i}

收敛到零，即

{\tilde{d}}_{i} = s_{i} = 0

在假设3的条件下，由Young不等式， Y 的导数为

\begin{matrix} \dot{Y} ⩽ - q_{11} {(e_{1}^{2})}^{\frac{v_{i 1} + 1}{2}} - q_{12} {(e_{1}^{2})}^{\frac{3 - \frac{1}{v_{i 2}}}{2}} + \\ \frac{μ_{2}^{2}}{2} + \frac{g_{1}^{2} ς_{1}^{2} e_{1}^{2}}{2} + \dots - \\ q_{i 1} {(z_{i}^{2})}^{\frac{v_{i 1} + 1}{2}} + \frac{g_{i}^{2} z_{i}^{2}}{2} - \\ q_{i 2} {(z_{i}^{2})}^{\frac{3 - \frac{1}{v_{i 2}}}{2}} + \frac{μ_{i + 1}^{2}}{2} + \dots - \\ q_{n 1} {(z_{n}^{2})}^{\frac{v_{i 1} + 1}{2}} - q_{n 2} {(z_{n}^{2})}^{\frac{3 - \frac{1}{v_{i 2}}}{2}} - \\ \frac{1}{τ_{i}} \sum_{i = 2}^{n} ({|μ_{i}^{2}|}^{\frac{v_{i 1} + 1}{2}} + {|μ_{i}^{2}|}^{\frac{3 - \frac{1}{v_{i 2}}}{2}}) + \\ \sum_{i = 2}^{n} (\frac{μ_{i}^{2}}{2} + \frac{ϖ_{i}^{2}}{2}) . \end{matrix}

根据引理2知，

\dot{Y}

满足

\begin{matrix} \dot{Y} ⩽ - A_{1} [{(e_{1}^{2})}^{\frac{v_{i 1} + 1}{2}} + \sum_{i = 2}^{n} {(z_{i}^{2})}^{\frac{v_{i 1} + 1}{2}}] - \\ B_{1} [{(e_{1}^{2})}^{\frac{3 - \frac{1}{v_{i 2}}}{2}} + \sum_{i = 2}^{n} {(z_{i}^{2})}^{\frac{3 - \frac{1}{v_{i 2}}}{2}}] - \\ K_{1} [\sum_{i = 2}^{n} ({(μ_{i}^{2})}^{\frac{3 - \frac{1}{v_{i 2}}}{2}} + {(μ_{i}^{2})}^{\frac{v_{i 1} + 1}{2}})] + \\ \sum_{i = 2}^{n} \frac{1}{2} ϖ_{i}^{2} . \end{matrix}

由引理3可知

\begin{matrix} \dot{Y} ⩽ - n^{\frac{1 - v_{i 1}}{2}} A_{1} {[e_{1}^{2} + \sum_{i = 2}^{n} z_{i}^{2}]}^{\frac{v_{i 1} + 1}{2}} - \\ B_{1} {[e_{1}^{2} + \sum_{i = 2}^{n} z_{i}^{2}]}^{\frac{3 - \frac{1}{v_{i 2}}}{2}} + \sum_{i = 2}^{n} \frac{1}{2} ϖ_{i}^{2} - \\ K_{1} (n - 1)^{\frac{1 - v_{i 1}}{2}} \sum_{i = 2}^{n} {(μ_{i}^{2})}^{\frac{v_{i 1} + 1}{2}} - \\ K_{1} \sum_{i = 2}^{n} {(μ_{i}^{2})}^{\frac{3 - \frac{1}{v_{i 2}}}{2}} . \end{matrix}

进一步，可得

(33)

其中:

A₁ =min{q₁₁−

\frac{g_{1}^{2} ς_{1}^{2}}{2} ，

q_i₁−

\frac{g_{i}^{2}}{2} ，

q_n₁}，B₁ =min{q₁₂ −

\frac{g_{1}^{2} ς_{1}^{2}}{2}

，q_i₂−

\frac{g_{i}^{2}}{2} ，

q_n₂}，C =

\frac{\sum_{i = 2}^{n} ϖ_{i}^{2}}{2} ，

K₁=

\frac{1}{τ_{i}}

−1，B₂ =

2^{\frac{3 - \frac{1}{v_{i 2}}}{2}}

min{B₁，K₁}，A₂ = 2 min{

n^{\frac{1 - v_{i 1}}{2}} A_{1} ， （ n - 1 ）^{\frac{1 - v_{i 1}}{2}} K_{1}

}，且A₁，B₁，C，K₁，A₂，B₂>0.

存在常数

0 < θ < 1 ，

使

C ⩽ B_{2} θ Y^{\frac{3 - \frac{1}{v_{i 2}}}{2}} ，

可得

\dot{Y} ⩽ - B_{2} (1 - θ) Y^{\frac{3 - \frac{1}{v_{i 2}}}{2}} - A_{2} Y^{\frac{v_{i 1} + 1}{2}} .

(34)

令

ν = \sqrt{Y} ，

则

\dot{ν} ⩽ - B_{2} (1 - θ) \frac{Y^{2 - \frac{1}{v_{i 2}}}}{2} - A_{2} \frac{Y^{v_{i 1}}}{2} .

由引理1可知， Y 在固定时间内收敛，收敛区域为{Y :

Y ⩽ {(\frac{C}{B_{2} θ})}^{\frac{2}{3 - \frac{1}{v_{i 2}}}}

}. 收敛时间T满足

T ⩽ \frac{2 v_{i 2}}{B_{2} (1 - θ_{1}) (1 - v_{i 2})} + \frac{2}{A_{2} (v_{i 1} - 1)} .

即闭环系统在固定时间内有界稳定. 由式（19）可知，转换误差e₁满足

|e_{1}| ⩽ ψ ， ψ = \sqrt{2 {(\frac{C}{B_{2} θ})}^{\frac{2}{3 - \frac{1}{v_{i 2}}}}} .

进一步可以得到

\begin{matrix} \frac{k_{L} k_{U} (e^{- ψ} - 1)}{k_{L} e^{- ψ} + k_{U}} ⩽ ξ_{1} ⩽ \frac{k_{L} k_{U} (e^{ψ} - 1)}{k_{L} e^{ψ} + k_{U}}, \\ \frac{k_{L} k_{U} (e^{- ψ} - 1)}{k_{L} e^{- ψ} + k_{U}} ⩾ - k_{L}, \frac{k_{L} k_{U} (e^{ψ} - 1)}{k_{L} e^{ψ} + k_{U}} ⩽ k_{U} . \end{matrix}

因此，输出误差满足

- k_{L} P （ t ） < z_{1} < k_{U} P （ t ） ，

由 P（t）的表达式可知，z₁在预设时间内进入到约束区域（−k_LP（t），k_UP（t））. 证毕.

注 5 文献 ^[20-21] 考虑了输出误差约束问题，但是没有考虑输出误差的固定时间收敛性. 文献 ^[23-24] 考虑了输出误差约束问题，但没有考虑外界干扰问题. 本文综合考虑输出误差约束和外界干扰问题，设计基于终端滑模理论的固定时间干扰观测器（8）估计外界干扰; 构造预设时间预定性能函数（14），解决了输出误差约束问题.

7 仿真验证

为了验证控制策略的有效性，将本文设计的固定时间滤波器式（2）、一阶滤波器 ^[4-5] 和固定时间滤波器 ^[9] 做对比仿真. 然后，将本文控制策略应用到范德堡尔电路系统的跟踪问题.

7.1 滤波器的对比仿真

本节中，将本文滤波器式（2）、一阶滤波器 ^[4-5] 和固定时间滤波器 ^[9] 做对比仿真.

考虑如下两种滤波器的输入信号:

1) x_i_c = 3; 2) x_i_c = sin t + sin (0.5t) .

对比仿真中，选取相同的初始条件和滤波器参数，第1种输入信号下，滤波器参数为l_i = 10，τ_i = 0.5，

v_{i 1} = \frac{11}{9} ， v_{i 2} = \frac{5}{7} .

第2种输入信号下，滤波器的参数为

l_{i} = 100 ， τ_{i} = 0.2 ， v_{i 1} = \frac{11}{7} ， v_{i 2} = \frac{5}{9} .

图2和图3为滤波器的对比结果，由图可知，本文的滤波器式（2）在3个滤波器中波动幅度最小，估计精度相对较好.

图2情形1的对比结果

Fig.2Compared results in case1

图3情形2的对比结果

Fig.3Compared results in case2

注 6 对不同结构的滤波器，文献 ^[10-12] 通过选取相同的时间常数τ_i进行比较，以说明所设计滤波器的优越性. 本文在对不同结构的滤波器进行对比仿真时，针对两种类型的滤波器输入信号进行仿真，以说明本文设计滤波器的优越性. 另外，若选取相同的较小时间常数τ_i= 0.01，本文设计的滤波器的估计精度较高; 若选取不同的时间常数τ_i，且一阶滤波器的时间常数选取的较小，即τ_i= 0.01，在第1种输入信号下固定时间滤波器 ^[9] 和本文的滤波器的时间常数选取为τ_i= 0.5时，一阶滤波器的估计精度较高，但在第2种输入信号下固定时间滤波器 ^[9] 和本文的滤波器的时间常数选取为τ_i = 0.2 时，本文设计的滤波器的估计精度较高. 再者，进行了多组时间常数的仿真后，结果表明本文设计的滤波器的收敛速度和精度不仅受到时间常数τ_i的影响，还受到v_i₁，v_i₂的影响，放松了对较小的时间常数的要求，且滤波器误差可以在固定时间内实现稳定. 因此，本文的滤波器式（2）不仅可以保证滤波误差在固定时间内收敛，在一定程度上，还具有较高的估计精度.

7.2 仿真验证

考虑如下范德堡尔电路系统 ^[25] :

\{\begin{array}{l} {\dot{x}}_{1} = f_{1} ({\bar{x}}_{1}) + g_{1} ({\bar{x}}_{1}) x_{2} + d_{1} (t) \\ {\dot{x}}_{2} = f_{2} ({\bar{x}}_{2}) + g_{2} ({\bar{x}}_{2}) u + d_{2} (t) \\ y = x_{1} \end{array}

(35)

其中:

{\bar{x}}_{2} = {[\begin{matrix} x_{1} x_{2} \end{matrix}]}^{T} ， f_{2} ({\bar{x}}_{2}) = 3 (1 - x_{1}^{2}) x_{2} - 2 x_{1} ， f_{1} ({\bar{x}}_{1}) = 0 ， g_{1} ({\bar{x}}_{1}) = g_{2} ({\bar{x}}_{2}) = 1 ，

选取 x₁（0）= 0.2，x₂（0）= 0，参考指令为 x_1d = sin（2t），外界干扰为 d_i（t）= 2 sin（0.1πt），i = 1，2.

控制器参数如表1所示，在相同的初始条件和控制器参数下，考虑如下5种对比情形:

情形1: 基于本文滤波器式（2），采用性能函数式（14）的反步控制策略; 情形2: 基于自适应固定时间滤波器 ^[9]，采用性能函数式（14）的反步控制策略; 情形3: 基于一阶滤波器 ^[4-5]，采用性能函数式（14）的反步控制策略; 情形4: 基于本文滤波器式（2）和文献 ^[19] 的传统性能函数的反步控制策略; 情形5: 基于本文滤波器式（2）和文献 ^[26] 的性能函数（16）的反步控制策略.

表1控制器参数

Table1Controller parameters

图4–5为情形1–3的对比结果. 图4描述了3种情形下的输出x₁的跟踪曲线和x₂的变化曲线，可以看出情形1的输出可以以更快的速度实现对参考指令的跟踪; 图5为输出误差z₁的变化曲线和控制输入u的变化曲线，由图可知，z₁收敛到零附近的小邻域; 情形1的u 表现出较快的稳定速度，波动幅度较小.

图4输出x₁的跟踪曲线和x₂的曲线

Fig.4Tracking curves of output x₁ and curves of x₂

图5输出误差z₁和控制输入u的曲线

Fig.5Curves of output error z₁ and control input u

图6–7为情形1、情形4和情形5的对比结果. 图6为输出x₁的跟踪曲线和x₂的变化曲线. 可以看出，输出 x₁稳定跟踪参考指令x_1d. 图7为输出误差z₁的曲线和控制输入u的变化曲线. 在本文所设计的控制策略下，情形1中的跟踪精度相较于情形4和情形5的跟踪精度更优.

8 结论

本文综合考虑外界干扰和输出误差约束对非线性系统的影响，提出滤波反步控制策略. 基于终端滑模理论，设计固定时间干扰观测器估计外界干扰，同时利用固定时间滤波器处理“计算爆炸”问题，然后设计固定时间反步控制器，证明了闭环系统的固定时间稳定性，滤波器对比仿真和范德堡尔电路系统的对比仿真体现了所设计控制策略的有效性.

图6输出x₁的跟踪曲线和x₂的曲线

Fig.6Tracking curves of output x₁and curves of x₂

图7输出误差z₁和控制输入u的曲线

Fig.7Curves of output error z₁ and control input u

图13种性能函数对比曲线

Fig.1Compared curves of three performance functions

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图2情形1的对比结果

Fig.2Compared results in case1

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图3情形2的对比结果

Fig.3Compared results in case2

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图4输出x₁的跟踪曲线和x₂的曲线

Fig.4Tracking curves of output x₁ and curves of x₂

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图5输出误差z₁和控制输入u的曲线

Fig.5Curves of output error z₁ and control input u

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图6输出x₁的跟踪曲线和x₂的曲线

Fig.6Tracking curves of output x₁and curves of x₂

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图7输出误差z₁和控制输入u的曲线

Fig.7Curves of output error z₁ and control input u

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表1控制器参数

Table1Controller parameters

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图13种性能函数对比曲线

Fig.1Compared curves of three performance functions

图2情形1的对比结果

Fig.2Compared results in case1

图3情形2的对比结果

Fig.3Compared results in case2

图4输出x₁的跟踪曲线和x₂的曲线

Fig.4Tracking curves of output x₁ and curves of x₂

图5输出误差z₁和控制输入u的曲线

Fig.5Curves of output error z₁ and control input u

图6输出x₁的跟踪曲线和x₂的曲线

Fig.6Tracking curves of output x₁and curves of x₂

图7输出误差z₁和控制输入u的曲线

Fig.7Curves of output error z₁ and control input u

表1控制器参数

Table1Controller parameters

图(7) / 表(1)

引用本文

李爽, 周超, 王芳. 约束非线性系统的固定时间滤波反步控制. 控制理论与应用, 2026, 43(2): 406 – 414

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LI Shuang, ZHOU Chao, WANG Fang. Fixed-time filtered backstepping control for a constrained nonlinear system. Control Theory & Applications, 2026, 43(2): 406 – 414

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图13种性能函数对比曲线

Fig.1Compared curves of three performance functions

图2情形1的对比结果

Fig.2Compared results in case1

图3情形2的对比结果

Fig.3Compared results in case2

图4输出x₁的跟踪曲线和x₂的曲线

Fig.4Tracking curves of output x₁ and curves of x₂

图5输出误差z₁和控制输入u的曲线

Fig.5Curves of output error z₁ and control input u

图6输出x₁的跟踪曲线和x₂的曲线

Fig.6Tracking curves of output x₁and curves of x₂

图7输出误差z₁和控制输入u的曲线

Fig.7Curves of output error z₁ and control input u

表1控制器参数

Table1Controller parameters

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