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基于离散时间神经网络方法的高超声速飞行器跟踪控制

doi: 10.7641/CTA.2025.40581

何声瑞^1,2 ，平兆武^1,2 ，张宏伟³

1. 合肥工业大学电气与自动化工程学院, 安徽合肥 230009

2. 工业自动化安徽省工程技术研究中心, 安徽合肥 230009

3. 哈尔滨工业大学(深圳) 智能科学与工程学院, 广东深圳 518055

基金项目: 国家自然科学基金项目(62273127, 62473114), 中央高校基本科研业务费项目(JZ2025HGTG0293), 深圳市科技计划项目(JCYJ2022081810241603 6)资助.

详细信息

作者简介

何声瑞硕士研究生,目前研究方向为非线性输出调节理论及应用、机电系统控制,E-mail: srhe@mail.hfut.edu.cn;

平兆武教授,博士生导师,目前研究方向为非线性输出调节理论及应用、多智能体系统协同控制、机电系统控制、神经网络控制、切换系统的控制与估计,E-mail: zwping@hfut.edu.cn;

张宏伟教授,博士生导师,目前研究方向为多智能体系统分布式优化与控制理论及其在无人系统集群、微电网、噪声控制等领域的应用,E-mail: hwzhang@hit.edu.cn.

通信作者

平兆武，E-mail: zwping@hfut.edu.cn;Tel.:+8613855144526.

Tracking control of hypersonic flight vehicle based on discrete-time neural network approach

HE Sheng-rui^1,2 ， PING Zhao-wu^1,2 ， ZHANG Hong-wei³

1. School of Electrical Engineering and Automation, Hefei University of Technology, Hefei Anhui 230009 , China

2. Anhui Engineering Technology Research Center of Industrial Automation, Hefei Anhui 230009 , China

3. School of Intelligence Science and Engineering, Harbin Institute of Technology (Shenzhen), Shenzhen Guangdong 518055 , China

Funds: Supported by the National Natural Science Foundation of China (62273127, 62473114), the Fundamental Research Funds for the Central Universities (JZ2025HGTG0293) and the Shenzhen Science and Technology Program (JCYJ20220818102416036).

摘要

高超声速飞行器是一个具有强非线性、强耦合等特性的多输入多输出系统. 此外, 当升降舵作为唯一控制舵面时, 系统模型中的升降舵–升力耦合项会导致高超声速飞行器系统呈现非最小相位特性, 因此其跟踪控制问题具有一定的挑战性. 本文基于离散时间输出调节理论, 研究了升降舵作为唯一控制舵面条件下高超声速飞行器的跟踪控制问题. 首先将高超声速飞行器的跟踪控制问题描述为近似离散时间输出调节问题. 由于高超声速飞行器对应的离散调节器方程的精确解不可得, 本文通过神经网络方法来获取离散调节器方程的近似解, 进而设计一个离散时间神经网络控制器来实现高超声速飞行器的跟踪控制. 仿真结果表明, 本文所提出的控制算法具有良好的跟踪性能.

关键词

离散时间非线性系统 / 高超声速飞行器 / 跟踪控制 / 输出调节 / 神经网络

Abstract

Hypersonic flight vehicle is a multi-input multi-output system with strong nonlinearity and strong coupling characteristics. In addition, when the elevator is used as the only control surface, the coupling term between the elevator and lift force in the system model leads to the non-minimum phase behavior of the hypersonic flight vehicle system, which poses certain challenge to its tracking control problem. This paper investigates the tracking control problem of hypersonic flight vehicle based on discrete-time output regulation theory, where the elevator is the only control surface. The tracking control problem of hypersonic flight vehicle is firstly formulated as an approximate discrete-time output regulation problem. Since it is difficult to obtain the exact solution of the discrete regulator equations for the hypersonic flight vehicle, the approximate solution of the discrete regulator equations is obtained by neural network method and then the discrete-time neural network controller is designed to achieve tracking control of hypersonic flight vehicle in this paper. The simulation results show that the proposed control algorithm can lead to satisfactory tracking performance.

Keywords

discrete-time nonlinear system / hypersonic flight vehicle / tracking control / output regulation / neural network

1 引言 2 预备知识 3 问题描述 4 控制器设计 5 仿真验证 6 总结

1 引言

高超声速飞行器一般是指飞行速度高于5马赫的导弹、飞机等飞行器，其具有飞行速度快、突防能力强、射程远特点，在军事、经济等领域发挥着越来越重要的作用 ^[1] . 与传统飞行器相比，高超声速飞行器总在更加复杂多变的环境下执行任务. 同时，高超声速飞行器是一个具有强非线性、强耦合等特性的多输入多输出系统，并且当升降舵作为其唯一控制舵面时，系统模型中的升降舵–升力耦合项会导致高超声速飞行器系统呈现非最小相位特性，因此其跟踪控制问题具有一定的挑战性.

在早期关于高超声速飞行器的跟踪控制问题研究中，一些线性控制方法被用于高超声速飞行器的控制系统设计中，比如多模型预测控制 ^[2]、线性二次型最优控制 ^[3]、H_∞控制 ^[4]、鲁棒控制 ^[5] 等，然而这些方法是基于线性化模型来设计控制器，忽略了模型中的非线性项. 因此，一些文献考虑将非线性控制方法应用于高超声速飞行器的跟踪控制问题研究当中 ^[6-13] . 其中，文献 ^[6] 提出了一种基于动态面技术的全局神经控制器，能够实现高超声速飞行器的跟踪控制，确保跟踪误差全局一致有界; 文献 ^[7] 针对存在参数不确定、执行器故障和外部干扰下的高超声速飞行器的跟踪控制问题，提出了一种鲁棒自学习容错控制策略，使得高超声速飞行器系统具有良好的鲁棒性和跟踪性能; 文献 ^[8] 提出了一种自适应容错控制策略，在参数不确定、外部干扰和执行器故障情况下，实现了高超声速飞行器的跟踪控制; 文献 ^[9] 设计了一种基于误差累积因子的渐近模糊自适应控制方法，能够实现高超声速飞行器在模型未知情况下的跟踪控制; 文献 ^[10] 提出了一种基于扰动观测器的扰动解耦控制律，在参数不确定和外部干扰情况下实现了高超声速飞行器的跟踪控制; 文献 ^[11-12] 提出了两种自适应控制策略，解决了执行器约束下高超声速飞行器的跟踪控制问题; 文献 ^[13] 提出了一种径向基函数神经网络自适应控制器，在输入饱和、模型参数不确定和外部干扰情况下实现了高超声速飞行器的跟踪控制. 值得注意的是，文献 ^[6-9] 通过调节唯一控制舵面升降舵来实现高超声速飞行器的跟踪控制，但这些文献忽略了系统模型中的升降舵–升力耦合项. 而文献 ^[10-13] 通过增加附加控制舵面鸭翼消除了升降舵–升力耦合影响，但是鸭翼的引入会导致系统气动热的增加. 因此，针对升降舵作为唯一控制舵面的高超声速飞行器的跟踪控制问题尚待进一步研究.

需要注意的是，非线性输出调节理论能够有效地解决各种存在参数不确定和外部干扰下的非线性系统的跟踪控制问题，在近几十年里受到了广泛的关注 ^[14-16]，并且被应用于二级倒立摆 ^[17]、柔性飞行器 ^[18]、永磁同步电机 ^[19]、高超声速飞行器 ^[20-21] 等各种实际系统的跟踪控制问题. 其中，文献 ^[20-21] 基于连续时间输出调节理论成功解决了升降舵–升力耦合影响下高超声速飞行器的跟踪控制问题. 考虑到大多数的非线性控制律是通过数字控制器实现的，一些文献研究了基于离散时间模型的高超声速飞行器的跟踪控制问题 ^[22-25]，但其忽略了系统模型中的升降舵– 升力耦合项. 值得注意的是，离散时间输出调节理论可以很好地解决复杂非线性系统的轨迹跟踪和干扰抑制问题. 由于一些复杂非线性系统对应的离散调节器方程的精确解难以获得，文献 ^[26] 提出了一种神经网络近似方法，来获取离散调节器方程的近似解，从而解决了近似离散时间输出调节问题. 基于这一理论框架，文献 ^[27] 将神经网络近似方法和摩擦前馈补偿机制相结合解决了直线电机驱动倒立摆的跟踪控制问题. 迄今为止，该方法尚未被应用于解决高超声速飞行器的跟踪控制问题.

受到文献 ^[26] 的启发，本文基于离散时间输出调节理论，进一步研究了高超声速飞行器的跟踪控制问题. 由于与高超声速飞行器对应的离散调节器方程的精确解难以获得，本文采用神经网络近似方法求取其近似解，并设计离散时间神经网络控制器，解决了升降舵作为唯一控制舵面的高超声速飞行器的跟踪控制问题. 本文的主要贡献如下: 1）本文提出了一种离散时间神经网络控制器来解决升降舵–升力耦合影响下高超声速飞行器的跟踪控制问题，而文献 ^[22-25] 忽略了系统模型中的升降舵–升力耦合项; 2）与基于多项式近似的线性控制器 ^[14] 和连续时间神经网络控制器 ^[21] 相比，本文所提出的离散时间神经网络控制器具有更高的跟踪精度.

文章的组织结构如下: 第2节介绍了近似离散时间输出调节问题; 第3节给出了高超声速飞行器的离散时间数学模型和问题描述; 第4节介绍了离散时间神经网络控制器的设计过程; 第5节对所提出的方法进行了仿真验证; 第6节对本文的工作进行了总结.

2 预备知识

考虑一类如下形式的离散时间非线性系统:

\{\begin{array}{l} x (t + 1) = F (x (t), u (t), v (t)), x (0) = x_{0} \\ e (t) = H (x (t), u (t), v (t)), t ⩾ 0 \end{array}

(1)

其中:

x \in R^{n}

表示系统状态，

u \in R^{m}

表示控制输入，

e \in R^{p}

表示跟踪误差，

v \in R^{q}

表示外部信号. 假设外部信号可以由如下外部系统产生:

v (t + 1) = A (v (t)), v (0) = v_{0}, t ⩾ 0 .

(2)

此外，假设上述所有函数在原点处都是光滑的，并且

F （ 0，0 ， 0 ） = 0 ， H （ 0，0 ， 0 ） = 0 ， A （ 0 ） = 0 .

考虑一类如下形式的状态反馈控制律:

u (t) = ψ (x (t), v (t)) .

(3)

结合控制律（3）可得如下形式的闭环复合系统:

(4)

假设 1

(\frac{\partial F}{\partial x} （ 0，0 ， 0 ） ， \frac{\partial F}{\partial u} （ 0，0 ， 0 ）)

是可镇定的.

假设 2 外部系统（2）的零平衡点是Lyapunov稳定的，并且

\frac{\partial A}{\partial v} （ 0 ）

的所有特征值都位于单位圆上.

假设 3 存在充分光滑的函数x（v）和u（v）满足 x（0）= 0，u（0）= 0和如下离散调节器方程:

\{\begin{array}{l} x (A (v)) = F (x (v), u (v), v) \\ 0 = H (x (v), u (v), v) . \end{array}

(5)

文献 ^[26] 中定义了如下近似离散时间输出调节问题:

给定

ϵ > 0

，设计一个形如（3）的控制律，使得闭环复合系统（4）满足如下性质:

1）

\frac{\partial F_{c}}{\partial x} （ 0，0 ）

的所有特征值都位于单位圆内;

2）对于充分小的x₀，v₀和所有的t >0，闭环复合系统（4）的解存在，且满足

\underset{t \to \infty}{l i m} s u p ‖ e （ t ） ‖ ⩽ ϵ .

根据通用近似定理 ^[28]，给定紧集

Γ \subset R^{q}

和常数

κ > 0 ，

存在权值 W 和前馈神经网络函数

\hat{x} （ W ， v ） ， \hat{u} （ W ， v ）

满足

\{\begin{matrix} \underset{v \in Γ}{m a x} ‖ x (v) - \hat{x} (W, v) ‖ < κ, \\ \underset{v \in Γ}{m a x} ‖ u (v) - \hat{u} (W, v) ‖ < κ . \end{matrix}

(6)

近似离散时间输出调节问题的主要结论总结如下.

引理 1 在满足假设1–3的条件下，对于任意κ>0和任意包含原点的紧集

Γ \subset R^{q}

，存在前馈神经网络函数

\hat{x} （ W ， v ）

和

\hat{u} （ W ， v ）

满足式（6）. 因此，如下形式的状态反馈控制律:

ψ (x, v) = \hat{u} (W, v) + L (x - \hat{x} (W, v))

(7)

能够解决系统（4）的近似离散时间输出调节问题，其中L使得矩阵

\frac{\partial F}{\partial x} （ 0，0 ， 0 ） + \frac{\partial F}{\partial u} （ 0，0 ， 0 ） L

的所有特征值都在单位圆内.

3 问题描述

本文考虑高超声速飞行器的纵向动力学模型如下 ^[29-30] :

\{\begin{array}{l} \dot{V} = \frac{T \cos α - D}{m} - g \sin γ \\ \dot{h} = V \sin γ \\ \dot{γ} = \frac{L + T \sin α - m g \cos γ}{m V} \\ \dot{α} = Q - \dot{γ} \\ \dot{Q} = \frac{M}{I_{yy}} \end{array}

(8)

其中:V，h，γ，α，Q分别表示速度、高度、航迹角、攻角和俯仰角速率; 系统输出为V 和h; m表示高超声速飞行器的质量; g表示重力加速度; I_yy 表示俯仰方向的转动惯量; 系统输入为燃料空气比Φ和升降舵偏角δ_e，通过升力L、阻力D、推力T和俯仰力矩M作用于系统（8），其表达式如下:

\{\begin{array}{l} L \approx \bar{q} S (C_{L} (α) + C_{L}^{δ_{e}} δ_{e}), \\ D \approx \bar{q} S (C_{D} (α) + {\bar{C}}_{D}^{δ_{e}} δ_{e}), \\ T \approx C_{T}^{Φ} (α) Φ + C_{T} (α), \\ M \approx z_{T} T + \bar{q} S \bar{c} (C_{M} (α) + c_{e} δ_{e}), \\ C_{L} (α) = C_{L}^{α} α + C_{L}^{0}, \\ C_{D} (α) = C_{D}^{α^{2}} α^{2} + C_{D}^{α} α + C_{D}^{0}, \\ C_{T}^{Φ} (α) = β_{1} α^{3} + β_{3} α^{2} + β_{5} α + β_{7}, \\ C_{T} (α) = β_{2} α^{3} + β_{4} α^{2} + β_{6} α + β_{8}, \\ C_{M} (α) = C_{M}^{α^{2}} α^{2} + C_{M}^{α} α + C_{M}^{0}, \\ \bar{q} = \frac{ρ (h) V^{2}}{2}, ρ (h) = ρ_{0} \exp (\frac{- (h - h_{0})}{h_{s}}), \end{array}

(9)

其中:

\bar{q}

表示动压; ρ（h），ρ₀，h₀，1/h_s分别表示高度h处的空气密度、标称空气密度、标称高度和空气密度衰减率;

\bar{C}

表示平均气动弦长; S表示参考面积; z_T表示推力力矩耦合系数; C_L（α）表示升力系数; C_D（α）表示阻力系数;

C_{T}^{Φ} （ α ）

和C_T（α）表示推力系数; C_M（α）表示俯仰力矩系数;

C_{M}^{α^{2}} ， C_{M}^{α} ， C_{M}^{0} ， c_{e}

表示俯仰力矩拟合系数;

C_{L}^{δ_{e}} ， C_{L}^{α} ， C_{L}^{0}

表示升力拟合系数;

{\bar{C}}_{D}^{δ_{e}} ， C_{D}^{α^{2}} ， C_{D}^{α} ， C_{D}^{0}

表示阻力拟合系数; β_i（i = 1，· · ·，8）表示推力拟合系数. 各系统参数值见表1^[30] .

假设高超声速飞行器在常值速度V ^∗和常值高度 h ^∗下飞行，其存在一组平衡点:

\begin{matrix} x^{*} = {[\begin{matrix} V^{*} & h^{*} & 0 & α^{*} & 0 \end{matrix}]}^{T}, \\ u^{*} = {[\begin{matrix} Φ^{*} & δ_{e}^{*} \end{matrix}]}^{T}, \end{matrix}

α^∗，Φ^∗和

δ_{e}^{*}

可以由如下方程解出:

\{\begin{array}{l} 0 = T^{*} \cos α^{*} - {\bar{q}}_{0} S (C_{D} (α^{*}) + {\bar{C}}_{D}^{δ_{e}} δ_{e}^{*}), \\ m g = {\bar{q}}_{0} S (C_{L} (α^{*}) + C_{L}^{δ_{e}} δ_{e}^{*}) + T^{*} \sin α^{*}, \\ 0 = z_{T} T^{*} + {\bar{q}}_{0} S \bar{c} (C_{M} (α^{*}) + c_{e} δ_{e}^{*}), \\ T^{*} = C_{T}^{Φ} (α^{*}) Φ^{*} + C_{T} (α^{*}), \end{array}

(10)

其中

{\bar{q}}_{0} = ρ (h^{*}) {(V^{*})}^{2} / 2

对系统状态变量x_f = [V h γ α Q]^T和控制输入u_f = [Φ δ_e]^T进行如下形式的坐标变换:

\{\begin{matrix} x = x_{f} - x^{*} \\ u = u_{f} - u^{*} \end{matrix}

(11)

因此，高超声速飞行器的离散时间数学模型如下:

\{\begin{array}{l} x (t + 1) = x (t) + T_{s} (f (x (t)) + g (x (t)) u (t)) \\ y (t) = {[\begin{array}{ll} x_{1} (t) & x_{2} (t) \end{array}]}^{T} \end{array}

(12)

其中: T_s为采样时间，x（t）=[x₁（t）· · · x₅（t）]^T，u（t）= [u₁（t）u₂（t）]^T，f（x）和g（x）的具体表达式见附录.

表1系统参数值

Table1System parameter values

本文的控制目标是设计一个离散时间状态反馈控制器来解决系统（12）的跟踪控制问题. 与文献 ^[21] 相同，系统（12）的参考轨迹为

y_{d} (t) = {[\begin{matrix} A_{1} s i n (ω_{1} T_{s} t) A_{2} s i n (ω_{2} T_{s} t) \end{matrix}]}^{T}

可以由如下形式的外部系统产生:

v (t + 1) = S v (t) = [\begin{matrix} O (ω_{1}) & 0_{2 \times 2} \\ 0_{2 \times 2} & O (ω_{2}) \end{matrix}] [\begin{matrix} v_{V} \\ v_{h} \end{matrix}],

(13)

其中:

v_{V} = {[\begin{matrix} v_{1} v_{2} \end{matrix}]}^{T} ， v_{h} = {[\begin{matrix} v_{3} v_{4} \end{matrix}]}^{T}

，

O (ω) = [\begin{matrix} c o s (ω T_{s}) \sin (ω T_{s}) \\ - s i n (ω T_{s}) \cos (ω T_{s}) \end{matrix}] .

外部系统（13）的输出y_d（t）= [v₁（t）v₃（t）]^T. 定义跟踪误差e（t）= [e₁（t）e₂（t）]^T如下:

e_{1} (t) = x_{1} (t) - v_{1} (t), e_{2} (t) = x_{2} (t) - v_{3} (t) .

(14)

可以看出，假设2成立.

将式（12）–（14）结合，得到如下形式的紧凑系统:

\begin{matrix} x (t + 1) = F (x (t), u (t), v (t)) ≜ \\ x (t) + T_{s} (f (x (t)) + g (x (t)) u (t)), \end{matrix}

\begin{matrix} v (t + 1) = S v (t), \\ e (t) = H (x (t), u (t), v (t)) ≜ \\ [\begin{matrix} x_{1} (t) - v_{1} (t) \\ x_{2} (t) - v_{3} (t) \end{matrix}] . \end{matrix}

(15)

综上所述，高超声速飞行器的跟踪控制问题已经被描述为系统（15）的近似离散时间输出调节问题.

4 控制器设计

在本节中，基于文献 ^[26] 提出的理论框架，控制器设计过程如下.

首先，需要分析近似离散时间输出调节问题是否可解. 系统（15）在原点处的雅可比线性化矩阵为

\bar{A} = \frac{\partial F}{\partial x} (0,0, 0), \bar{B} = \frac{\partial F}{\partial u} (0,0, 0) .

(16)

容易验证，

（ \bar{A} ， \bar{B} ）

是可镇定的. 即存在矩阵 L 使得

\bar{A} + \bar{B} L

的所有特征值均在单位圆内，故假设1成立.

与系统（15）对应的离散调节器方程形式如下:

\{\begin{matrix} x (S v) = F (x (v), u (v), v), \\ 0 = H (x (v), u (v), v), \end{matrix}

(17)

其中:

x （ v ） = {[\begin{matrix} x_{1} （ v ） \dots x_{5} （ v ） \end{matrix}]}^{T}

表示稳态状态，

u （ v ） = {[\begin{matrix} u_{1} （ v ） u_{2} （ v ） \end{matrix}]}^{T}

表示稳态输入.

通过计算，离散调节器方程（17）的部分解如下:

(18)

其中:

\begin{matrix} ϱ = T_{s} m g c o s (\arcsin (\frac{Θ (ω_{2}) v_{h}}{T_{s} (v_{1} + V^{*})})) + \\ m (v_{1} + V^{*}) τ_{1}, \\ ς = m τ_{2} + T_{s} m g s i n (x_{3} (v)) + T_{s} {\bar{q}}_{v}^{*} S {\bar{C}}_{D}, \\ Θ (ω) = [c o s (ω T_{s}) - 1 s i n (ω T_{s})], \\ τ_{1} = a r c s i n (\frac{Θ (ω_{2}) O (ω_{2}) v_{h}}{T_{s} ([c o s (ω_{1} T_{s}) s i n (ω_{1} T_{s})] v_{V} + V^{*})} - \\ a r c s i n (\frac{Θ (ω_{2}) v_{h}}{T_{s} (v_{1} + V^{*})}), \end{matrix}

\begin{matrix} τ_{2} = Θ (ω_{1}) v_{V}, {\bar{q}}_{v}^{*} = \frac{ρ (v_{3} + h^{*}) {(v_{1} + V^{*})}^{2}}{2}, \\ {\bar{C}}_{L} = C_{L} (x_{4} (v) + α^{*}), {\bar{C}}_{D} = C_{D} (x_{4} (v) + α^{*}), \\ {\bar{C}}_{T} = C_{T} (x_{4} (v) + α^{*}), {\bar{C}}_{T}^{Φ} = C_{T}^{Φ} (x_{4} (v) + α^{*}) . \end{matrix}

此外，

χ （ v ） = {[x_{4} （ v ） x_{5} （ v ）]}^{T}

满足如下方程:

χ (S v) = φ (χ (v), v),

(19)

其中:

\begin{matrix} χ = {[\begin{matrix} x_{4} & x_{5} \end{matrix}]}^{T}, φ (χ, v) = {[φ_{1} (χ, v) φ_{2} (χ, v)]}^{T} \\ φ_{1} (χ, v) = x_{4} + T_{s} (ξ_{4} (χ, v) + ζ_{4} (χ, v) μ (χ, v)) \\ φ_{2} (χ, v) = x_{5} + T_{s} (ξ_{5} (χ, v) + ζ_{5} (χ, v) μ (χ, v)) \end{matrix}

ξ₄（χ，v），ξ₅（χ，v），ζ₄（χ，v），ζ₅（χ，v）和µ（χ，v）的具体表达式见附录.

容易验证，

\frac{\partial φ}{\partial χ} （ 0，0 ）

的特征值的模不等于 1，S 的特征值的模等于1. 根据中心流形定理 ^[14，31]，方程（19）在原点邻域内存在局部解，因此假设3满足. 根据引理1，系统（15）的近似离散时间输出调节问题可解.

其次，需要获取离散调节器方程（17）的近似解. 受文献 ^[26] 启发，本文采用如下形式的三层前馈神经网络函数来获取χ（v）的近似解:

x_{p} (W, v) = \sum_{j = 1}^{N} w_{j}^{x_{p}} ϕ (\sum_{i = 1}^{4} w_{j i}^{x_{p}} v_{i} + w_{j 0}^{x_{p}}),

(20)

其中: W 表示神经网络的权值，由

w_{j}^{x_{p}} ， w_{j i}^{x_{p}} ， w_{j 0}^{x_{p}} ，

p = 4，5，i = 1，· · ·，4，j = 1，· · ·，N组成，ϕ（y）=（1 − e⁻^y）/（1 + e⁻^y）表示激活函数.

令

χ （ W ， v ） = {[\begin{matrix} x_{4} （ W ， v ） x_{5} （ W ， v ） \end{matrix}]}^{T} .

根据通用近似定理 ^[28]，由于χ（v）是充分光滑的，对于给定的紧集

Γ \subset R^{4}

包含原点且

ε > 0 ，

存在N和W满足

‖ χ (W, v) - χ (v) ‖ ⩽ ε, \forall v \in Γ

(21)

接下来将通过参数优化方法寻找一组合适的 N和W. 令

\{\begin{array}{l} F_{1} = x_{4} (W, S v) - φ_{1} (χ (W, v), v), \\ F_{2} = x_{5} (W, S v) - φ_{2} (χ (W, v), v), \\ J (W, v) = F_{1}^{2} + F_{2}^{2} . \end{array}

(22)

为了使

\underset{v \in Γ}{s u p} J （ W ， v ）

充分小，构造如下形式的函数:

Q (W) = \sum_{v \in Γ_{d}} J (W, v)

(23)

其中

Γ_{d}

是

Γ

中一个充分稠密的有限集. 接下来，采用如下形式的梯度下降法来寻找一组合适的权值

\hat{W} ，

即

W_{j + 1} = W_{j} - η_{j} \frac{\partial Q (W_{j})}{\partial W_{j}}, j = 0,1, \dots,

(24)

其中η_j表示步长.

最后，可以设计如下形式的离散时间状态反馈控制器:

u = \hat{u} (\hat{W}, v) + L (x - \hat{x} (\hat{W}, v))

(25)

其中:

\begin{matrix} \hat{u} (\hat{W}, v) = {[u_{1} (\hat{W}, v) u_{2} (\hat{W}, v)]}^{T}, \\ u_{1} (\hat{W}, v) = \\ \frac{ϱ - T_{s} {\hat{C}}_{T} s i n (x_{4} (\hat{W}, v) + α^{*})}{T_{s} {\hat{C}}_{T}^{Φ} s i n (x_{4} (\hat{W}, v) + α^{*})} - \\ \frac{{\bar{q}}_{v}^{*} S ({\hat{C}}_{L} + C_{L}^{δ_{e}} (u_{2} (\hat{W}, v) + δ_{e}^{*}))}{{\hat{C}}_{T}^{Φ} s i n (x_{4} (\hat{W}, v) + α^{*})} - Φ^{*}, \\ u_{2} (\hat{W}, v) = \\ \frac{ϱ - \hat{ζ} t a n (x_{4} (\hat{W}, v) + α^{*}) - T_{s} {\bar{q}}_{v}^{*} S {\hat{C}}_{L}}{T_{s} {\bar{q}}_{v}^{*} S (C_{L}^{δ_{e}} + {\bar{C}}_{D}^{δ_{e}} t a n (x_{4} (\hat{W}, v) + α^{*}))} - δ_{e}^{*}, \\ \hat{x} (\hat{W}, v) = {[v_{1} v_{3} x_{3} (v) x_{4} (\hat{W}, v) x_{5} (\hat{W}, v)]}^{T}, \\ \hat{ζ} = m τ_{2} + T_{s} m g s i n (x_{3} (v)) + T_{s} {\bar{q}}_{v}^{*} S {\hat{C}}_{D}, \\ {\hat{C}}_{L} = C_{L} (x_{4} (\hat{W}, v) + α^{*}), \\ {\hat{C}}_{D} = C_{D} (x_{4} (\hat{W}, v) + α^{*}), \\ {\hat{C}}_{T} = C_{T} (x_{4} (\hat{W}, v) + α^{*}), \\ {\hat{C}}_{T}^{Φ} = C_{T}^{Φ} (x_{4} (\hat{W}, v) + α^{*}) . \end{matrix}

结合式（11）可以得到最终的控制器如下:

u_{f} = \hat{u} (\hat{W}, v) + L (x - \hat{x} (\hat{W}, v)) + u^{*} .

(26)

5 仿真验证

本节将通过仿真来验证所提方法的有效性，并与连续时间神经网络控制器 ^[21] 和如下基于多项式近似的线性控制器 ^[14] 进行对比:

u_{f} = u^{[1]} (v) + L (x - x^{[1]} (v)) + u^{*},

(27)

其中:

x^{[1]} （ v ）

和

u^{[1]} （ v ）

分别表示

x （ v ）

和

u （ v ）

的一阶近似解，具体表达式见附录.

表2给出了高超声速飞行器的允许飞行范围 ^[30] . 选取V^∗ = 7700 ft/s，h^∗ = 85 000 ft，由式（10）可得α^∗ = 0.028 7◦，Φ^∗ = 0.251 4，

δ_{e}^{*} = 0.2174 r a d .

表2允许飞行范围

Table2Admissible flight range

令ω₁ = 0.1π，ω₂ = 0.1π，

\begin{matrix} Γ = \{v \in R^{4} ∣ ‖(v_{1}, v_{2})‖ ⩽ 50, ‖(v_{3}, v_{4})‖ ⩽ 100\}, \\ Γ_{d} = \{(ρ_{1} s i n θ_{1}, ρ_{1} c o s θ_{1}, ρ_{2} s i n θ_{2}, ρ_{2} c o s θ_{2}) ∣ \\ ρ_{1} = 10, 20, 30, 40, 50, \end{matrix}

\begin{matrix} ρ_{2} = 20, 40, 60, 80, 100 \\ θ_{i} = \frac{2 π}{5}, \frac{4 π}{5}, \frac{6 π}{5}, \frac{8 π}{5}, 2 π, i = 1, 2\} \end{matrix}

选取T_s = 0.1 s，N = 40. 通过计算机仿真，可以得到合适的权值

\hat{W}

使得

Q （ \hat{W} ） < 6.34 \times 10^{- 9}

. 最后，选取控制器增益如下:

L = [\begin{matrix} - 0.1722 & - 0.5360 & - 2469.0152 \\ - 0.0974 & 0.2788 & 2210.7254 \end{matrix} \begin{matrix} - 60.1490 & - 16.5842 \\ 94.5818 & 29.4898 \end{matrix}] .

(28)

本文选取最大百分比稳态跟踪误差作为衡量算法性能优劣的指标，具体解释见文献 ^[27] .

表3给出了不同幅值下3种控制器的最大百分比稳态跟踪误差. 当参考速度为 7700+50 sin（0.1πt）ft/s 和参考高度为85 000 + 100 sin（0.1πt）ft时，图1–2分别表示3种控制器下的速度和高度响应曲线，图3–4分别表示3种控制器下的速度和高度跟踪误差曲线，图5–6表示3种控制器下的控制输入曲线. 根据仿真结果，本文所提出的离散时间神经网络控制器能够实现高超声速飞行器的跟踪控制. 此外，与线性控制器和连续时间神经网络控制器相比，离散时间神经网络控制器能实现更高的跟踪精度.

表3最大百分比稳态跟踪误差

Table3Maximal percentage steady-state tracking errors

图1速度响应曲线

Fig.1Velocity response

图2高度响应曲线

Fig.2Altitude response

图3速度跟踪误差曲线

Fig.3Velocity tracking error

图4高度跟踪误差曲线

Fig.4Altitude tracking error

图5燃料空气比

Fig.5The fuel-to-air ratio

图6升降舵偏角

Fig.6The elevator deflection

6 总结

本文基于离散时间输出调节理论研究了高超声速飞行器的跟踪控制问题. 首先将高超声速飞行器的跟踪控制问题描述为一个近似离散时间输出调节问题. 由于高超声速飞行器对应的离散调节器方程的精确解难以获得，通过神经网络方法来获得离散调节器方程的近似解，进而设计了一个离散时间神经网络控制器来解决高超声速飞行器的跟踪控制问题. 仿真结果表明，相比于线性控制器和连续时间神经网络控制器，本文所提出的离散时间神经网络控制器可以实现更高的跟踪精度.

附录

式（12）中f（x）和g（x）的具体表达式如下:

\begin{matrix} f (x) = {[\begin{matrix} f_{1} (x) & \dots & f_{5} (x) \end{matrix}]}^{T}, g (x) = {[\begin{matrix} g_{1} (x) & \dots & g_{5} (x) \end{matrix}]}^{T}, \\ f_{1} (x) = \frac{{\tilde{C}}_{T} c o s (x_{4} + α^{*}) - {\bar{q}}^{*} S {\tilde{C}}_{D}}{m} - g s i n x_{3}, \\ f_{2} (x) = (x_{1} + V^{*}) s i n x_{3}, \\ f_{3} (x) = \frac{{\bar{q}}^{*} S {\tilde{C}}_{L} + {\tilde{C}}_{T} s i n (x_{4} + α^{*}) - m g c o s x_{3}}{m (x_{1} + V^{*})}, \\ f_{4} (x) = x_{5} - f_{3} (x), f_{5} (x) = \frac{z_{T} {\tilde{C}}_{T} + {\bar{q}}^{*} S \bar{c} {\tilde{C}}_{M}}{I_{y y}}, \\ g_{i} (x) = [g_{i 1} (x) g_{i 2} (x)], i = 1, \dots, 5, \\ g_{11} (x) = \frac{{\tilde{C}}_{T}^{Φ} c o s (x_{4} + α^{*})}{m}, g_{12} (x) = \frac{{\bar{q}}^{*} S {\bar{C}}_{D}^{δ_{e}}}{m}, \\ g_{21} (x) = 0, g_{22} (x) = 0, g_{31} (x) = \frac{{\tilde{C}}_{T}^{Φ} s i n (x_{4} + α^{*})}{m (x_{1} + V^{*})}, \\ g_{32} (x) = \frac{{\bar{q}}^{*} S C_{L}^{δ_{e}}}{m (x_{1} + V^{*})}, g_{41} (x) = - g_{31} (x), \\ g_{42} (x) = - g_{32} (x), g_{51} (x) = \frac{z_{T} {\tilde{C}}_{T}^{Φ}}{I_{y y}}, \\ g_{52} (x) = \frac{{\bar{q}}^{*} S \bar{c} c_{e}}{I_{y y}}, {\tilde{C}}_{L} = C_{L} (x_{4} + α^{*}), \\ {\tilde{C}}_{D} = C_{D} (x_{4} + α^{*}), {\tilde{C}}_{T} = C_{T} (x_{4} + α^{*}), \\ {\tilde{C}}_{T}^{Φ} = C_{T}^{Φ} (x_{4} + α^{*}), {\tilde{C}}_{M} = C_{M} (x_{4} + α^{*}), \\ {\bar{q}}^{*} = \frac{ρ (x_{2} + h^{*}) {(x_{1} + V^{*})}^{2}}{2} . \end{matrix}

式（19）中

ξ_{4} （ χ ， v ） ， ξ_{5} （ χ ， v ） ， ζ_{4} （ χ ， v ） ， ζ_{5} （ χ ， v ）

和

μ （ χ ， v ）

的具体表达式如下:

ξ_{4} (χ, v) = x_{5} - \frac{{\bar{q}}_{v}^{*} S {\tilde{C}}_{L} + {\tilde{C}}_{T} s i n (x_{4} + α^{*})}{m (v_{1} + V^{*})} -

\begin{matrix} \frac{g}{v_{1} + V^{*}} c o s (\arcsin (\frac{Θ (ω_{2}) v_{h}}{T_{s} (v_{1} + V^{*})})), \\ ξ_{5} (χ, v) = \frac{z_{T} {\tilde{C}}_{T} + {\bar{q}}_{v}^{*} S \bar{c} {\tilde{C}}_{M}}{I_{y y}}, \\ ζ_{j} (χ, v) = [ζ_{j 1} (χ, v) ζ_{j 2} (χ, v)], j = 4, 5, \\ ζ_{41} (χ, v) = - \frac{{\tilde{C}}_{T}^{Φ} s i n (x_{4} + α^{*})}{m (v_{1} + V^{*})}, \\ ζ_{42} (χ, v) = - \frac{{\bar{q}}_{v}^{*} S C_{L}^{δ_{e}}}{m (v_{1} + V^{*})}, \\ ζ_{51} (χ, v) = \frac{z_{T} {\tilde{C}}_{T}^{Φ}}{I_{y y}}, ζ_{52} (χ, v) = \frac{{\bar{q}}_{v}^{*} S \bar{c} c_{e}}{I_{y y}}, \\ μ (χ, v) = {[μ_{1} (χ, v) μ_{2} (χ, v)]}^{T}, \\ μ_{1} (χ, v) = \frac{ϱ - T_{s} {\tilde{C}}_{T} s i n (x_{4} + α^{*})}{T_{s} {\tilde{C}}_{T}^{Φ} s i n (x_{4} + α^{*})} - \\ \frac{{\bar{q}}_{v}^{*} S ({\tilde{C}}_{L} + C_{L}^{δ_{e}} (μ_{2} (χ, v) + δ_{e}^{*}))}{{\tilde{C}}_{T}^{Φ} s i n (x_{4} + α^{*})} - Φ^{*}, \\ μ_{2} (χ, v) = \frac{ϱ - ς_{v} t a n (x_{4} + α^{*}) - T_{s} {\bar{q}}_{v}^{*} S {\tilde{C}}_{L}}{T_{s} {\bar{q}}_{v}^{*} S (C_{L}^{δ_{e}} + {\bar{C}}_{D}^{δ_{e}} t a n (x_{4} + α^{*}))} - δ_{e}^{*}, \\ ς_{v} = m τ_{2} + T_{s} {\bar{q}}_{v}^{*} S {\tilde{C}}_{D} + \frac{m g Θ (ω_{2}) v_{h}}{v_{1} + V^{*}} . \end{matrix}

式（27）中x^[¹^]（v）和u^[¹^]（v）的具体表达式如下:

x^{[1]} (v) = {[\begin{matrix} x_{1} (v) x_{2} (v) x_{3}^{[1]} (v) x_{4}^{[1]} (v) \end{matrix} x_{5}^{[1]} (v)]}^{T},

\begin{matrix} u^{[1]} (v) = {[u_{1}^{[1]} (v) u_{2}^{[1]} (v)]}^{T}, \\ x_{3}^{[1]} (v) = [\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4} \end{matrix}] v, x_{4}^{[1]} (v) = [\begin{matrix} b_{1} & b_{2} & b_{3} & b_{4} \end{matrix}] v, \\ x_{5}^{[1]} (v) = [\begin{matrix} c_{1} & c_{2} & c_{3} & c_{4} \end{matrix}] v, u_{1}^{[1]} (v) = [\begin{matrix} d_{1} & d_{2} & d_{3} & d_{4} \end{matrix}] v, \\ u_{2}^{[1]} (v) = [\begin{matrix} e_{1} & e_{2} & e_{3} & e_{4} \end{matrix}] v, \end{matrix}

其中: a₁ = 0，a₂ = 0，a₃ = −6.41×10⁻⁷，a₄ = 4.11×10⁻⁵，b₁ = −9.09×10⁻⁶，b₂ = −1.45×10⁻⁴，b₃ = −1.33×10⁻⁴，b₄ = −4.81 × 10⁻⁶，c₁ = 4.60 × 10⁻⁵，c₂ = −2.14 × 10⁻⁶，c₃ = −1.07×10⁻⁵，c₄ = −4.21×10⁻⁵，d₁ = −1.80×10⁻⁴，d₂ = 1.32 × 10⁻²，d₃ = −3.12 × 10⁻⁴，d₄ = 2.61 × 10⁻⁵，e₁ = 3.80 × 10⁻⁵，e₂ = 7.99 × 10⁻⁴，e₃ = 2.97 × 10⁻⁴，e₄ = −3.61 × 10⁻⁵ .

图1速度响应曲线

Fig.1Velocity response

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图2高度响应曲线

Fig.2Altitude response

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图3速度跟踪误差曲线

Fig.3Velocity tracking error

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图4高度跟踪误差曲线

Fig.4Altitude tracking error

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图5燃料空气比

Fig.5The fuel-to-air ratio

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图6升降舵偏角

Fig.6The elevator deflection

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表1系统参数值

Table1System parameter values

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表2允许飞行范围

Table2Admissible flight range

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表3最大百分比稳态跟踪误差

Table3Maximal percentage steady-state tracking errors

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图1速度响应曲线

Fig.1Velocity response

图2高度响应曲线

Fig.2Altitude response

图3速度跟踪误差曲线

Fig.3Velocity tracking error

图4高度跟踪误差曲线

Fig.4Altitude tracking error

图5燃料空气比

Fig.5The fuel-to-air ratio

图6升降舵偏角

Fig.6The elevator deflection

表1系统参数值

Table1System parameter values

表2允许飞行范围

Table2Admissible flight range

表3最大百分比稳态跟踪误差

Table3Maximal percentage steady-state tracking errors

图(6) / 表(3)

引用本文

何声瑞, 平兆武, 张宏伟. 基于离散时间神经网络方法的高超声速飞行器跟踪控制. 控制理论与应用, 2026, 43(1): 52 – 60

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HE Shengrui, PING Zhaowu, ZHANG Hongwei. Tracking control of hypersonic flight vehicle based on discrete-time neural network approach. Control Theory & Applications, 2026, 43(1): 52 – 60

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图1速度响应曲线

Fig.1Velocity response

图2高度响应曲线

Fig.2Altitude response

图3速度跟踪误差曲线

Fig.3Velocity tracking error

图4高度跟踪误差曲线

Fig.4Altitude tracking error

图5燃料空气比

Fig.5The fuel-to-air ratio

图6升降舵偏角

Fig.6The elevator deflection

表1系统参数值

Table1System parameter values

表2允许飞行范围

Table2Admissible flight range

表3最大百分比稳态跟踪误差

Table3Maximal percentage steady-state tracking errors

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