欢迎访问《控制理论与应用》期刊网站！

具有非对称输出约束的非线性系统预设时间控制

doi: 10.7641/CTA.2025.50070

杨航，黄英博，李光，那靖

昆明理工大学机电工程学院, 云南昆明 650500 ; 云南省智能控制与应用重点实验室, 云南昆明 650500

基金项目: 国家自然科学基金项目(62373174, 62473180, 62273169), 云南省基础研究计划项目(202201AW70005)资助.

详细信息

作者简介

杨航博士研究生,目前研究方向为自适应控制,E-mail: yanghang21@stu.kust.edu.cn;

黄英博副教授,目前研究方向为自适应控制、瞬态性能提升、参数估计、汽车悬架系统等,E-mail: YingboHuang@126.com;

李光教授,目前研究方向为波浪能转化系统设计及最优化控制设计等,E-mail: G.li@ieee.org;

那靖教授,目前研究方向为自适应控制、参数估计、非线性控制及应用等,E-mail:najing25@163.com.

通信作者

黄英博，YingboHuang@126.com;Tel.:+86871-65955629.

Prescribed-time control for nonlinear systems with asymmetric output constraints

YANG Hang ， HUANG Ying-bo ， LI Guang ， NA Jing

Faculty of Mechanical and Electrical Engineering, Kunming University of Science and Technology, Kunming Yunnan 650500 , China ; Yunnan Key Laboratory of Intelligent Control and Application, Kunming Yunnan 650500 , China

Funds: Supported by the National Natural Science Foundation of China (62373174, 62473180, 62273169) and the Yunnan Fundamental Research Projects (202201AW70005).

摘要

本文针对一类具有非对称输出约束和时变参数的非线性系统, 设计了一种预设时间控制器. 相较于传统约束控制方法中, 设计者无法预先设定收敛时间和初始值满足约束条件的假设, 该控制策略不仅可以在满足约束条件的情况下将系统状态在预先设定的时间内调节至零, 而且可以避免系统初值违反约束条件导致控制器奇异的风险. 首先, 通过构造虚拟约束边界, 消除了系统初始值需满足约束条件的限制, 并保证了在预先设定的时间内将状态从违反约束恢复到满足约束. 其次, 设计了可实现非对称约束下系统状态和转换函数同步收敛的等效转换方法. 有别于现有的预设时间控制, 要求不确定非线性满足线性增长条件/未知定常参数, 本文所研究的非线性系统包含不确定时变参数, 通过利用基于变量凝聚法的反步技术和预设时间调节函数, 设计了一种能够处理非对称输出约束和时变参数的预设时间控制器. 最后, 通过两个数值仿真案例验证了所提方法的有效性.

关键词

预设时间控制 / 非对称输出约束 / 反步法 / 时变参数

Abstract

This paper proposes a prescribed-time controller for a class of nonlinear systems with asymmetric output constraints and time-varying parameters. Compared with the traditional constraint control in which the designer cannot preset the convergence time and the assumption that the initial value satisfies the constraints, the proposed controller can not only regulate the system state to zero within a prescribed-time while satisfying the constraints, but also prevent the potential singularity issue of controller when the system initial value violates the constraints. Firstly, the construction of virtual constraint boundaries eliminates the requirement for initial states to satisfy constraint conditions, while guaranteeing that states violating constraints can recover to constraint satisfaction within a prescribed-time. Secondly, an equivalent transformation method is designed to achieve synchronous convergence of system states and transformation function under asymmetric constraints. Unlike existing prescribed-time control approaches that require uncertain nonlinearities to meet linear growth conditions or unknown constant parameters, the studied nonlinear system in this paper incorporates uncertain time-varying parameters. By employing backstepping techniques based on the congelation of variables method and prescribed-time regulation function, a prescribed-time controller capable of handling the asymmetric output constraints and time-varying parameters is designed. Finally, the effectiveness of the proposed method is demonstrated through two numerical simulations.

Keywords

prescribed-time control / asymmetric output constraints / backstepping method / time-varying parameter

1 引言 2 问题描述 3 虚拟约束边界和转换函数 3.1 虚拟约束边界 3.2 转换函数 4 预设时间控制器设计 5 稳定性分析 6 仿真验证 7 结论

1 引言

相较于渐近收敛，有限时间控制因其能够保证系统在有限时间内快速达到平衡点，受到了越来越多的关注 ^[1-2]，众多学者也提出了许多有限时间控制方法 ^[1-4] . 虽然所提出的方法能够保证系统状态在有限时间内收敛，但其收敛时间上界的预估依赖于系统初始状态信息. 当缺乏系统初始状态的先验信息时，会限制这些现有成果的应用. 针对这一问题，研究人员提出了能够在不依赖于系统初始值信息的情况下，预估收敛时间上界的固定时间控制方法 ^[5-6] . 然而，固定时间稳定的收敛时间上界通常由设计/系统参数所决定，难以根据不同的工况进行预先设定和调整. 而在诸如航天器交会对接、机械零件组装、抓取等任务中，往往要求在指定的时间内无误差地完成任务 ^[7-9] .

近期，文献 ^[8] 提出了一种基于状态变换的预设时间控制方法，可以通过调整单一参数改变系统收敛时间上界. 文献 ^[9] 利用时间尺度变换将t ∈ [0，T）映射到τ ∈ [0，∞），进而设计预设时间控制器. 文献 ^[10] 则在非变换方法下研究了含有未知定常参数的非线性系统的预设时间控制问题，该方法所采用的时变函数直接用于控制器设计而非系统状态或时间变换. 然而，上述结果均未考虑时变参数对系统性能的影响. 在实际工业环境中，系统参数往往会随着外部工况变化而发生改变. 例如飞机总质量在飞行期间不断减小，车辆速度是变化的量等 ^[11-12] . 当这些不确定参数随时间变化时，传统的自适应控制方法可能无法实现相同的控制效果，并且，闭环系统的稳定性分析也变得更加复杂 ^[13-14] . 因此，针对含有未知时变参数的非线性系统的预设时间控制有待进一步研究.

另一方面，许多系统不可避免地会受到各种约束条件的限制，以保证系统的瞬态/稳态性能或安全限制. 在非线性系统的约束控制研究中，国内外学者相继提出了障碍李雅普诺夫函数 ^[15]、漏斗控制 ^[16] 和预设性能控制 ^[17] 等控制方法. 近年来，基于前述思想，针对非线性系统的预设性能控制以及含有约束的非线性系统控制研究取得了显著进展，包括基于预设性能函数的输出反馈控制 ^[18-19]、事件触发控制 ^[20-21]，以及硬约束和软约束下的漏斗控制 ^[22] . 此外，国内外学者还开展了能够保证渐近稳定 ^[23-24] 和有限时间稳定 ^[25] 的控制方法，但这些方法难以预先指定被控系统的收敛时间，这也是本文的研究动机之一. 此外，上述方法往往要求系统初值满足

此外，上述方法往往要求系统初值满足约束条件，但实际应用中系统状态可能从约束区域外开始. 这种约束违反将导致控制器中的某些信号趋于无穷大或无意义，从而引发控制器奇异 ^[26-27] . 一些研究中采用可变包络来避免这种问题. 如: 文献 ^[26] 提出了一种安全双层嵌套自适应预设性能控制方法，避免了不连续轨迹导致控制器奇异. 文献 ^[27] 设计了一种具有自我调节能力的预设性能函数，当系统遭遇突发性干扰时能自适应调整约束边界，克服了传统预设性能控制所固有的脆弱性. 文献 ^[28] 通过实时修正参考信号，实现了输入受限非线性系统的输入/输出约束之间的平衡. 然而，这些方法主要侧重于运行过程中的控制器奇异问题. 对于系统初值违反约束的情形，如何设计兼具避免控制器奇异和快速约束恢复特性的控制器，仍缺乏系统性的解决方案.

基于上述讨论，本文的主要创新点如下:

1）针对传统的约束控制方法要求系统初始值满足约束条件的假设，本文通过构造判断函数和虚拟约束边界，避免了当违反约束发生时控制器失效，并在预先设定的时间内将状态从违反约束恢复到满足约束;

2）为了在满足非对称输出约束的情况下实现零误差调节，构造了一个新的转换函数将具有非对称输出约束的系统等效为无约束系统;

3）不同于现有的预设时间控制，要求不确定非线性满足线性增长条件/未知定常参数，本文所研究的非线性系统包含不确定时变参数，所设计的预设时间控制器能够在保证在非对称约束条件的情况下将系统状态在预先设定的时间内调节至零.

2 问题描述

考虑如下含有时变参数的非线性系统:

\{\begin{array}{l} {\dot{x}}_{1} = ϕ_{1}^{T} ({\bar{x}}_{1}) θ (t) + x_{2}, \\ {\dot{x}}_{2} = ϕ_{2}^{T} ({\bar{x}}_{2}) θ (t) + u, \\ y = x_{1}, \end{array}

(1)

式中:

{\bar{x}}_{1} = x_{1} ， {\bar{x}}_{2} = {[\begin{matrix} x_{1} x_{2} \end{matrix}]}^{T} ， x_{1} \in R

和

x_{2} \in R

表示系统状态;

u \in R

和

y \in R

分别表示系统控制输入和输出;

θ （ t ） \in R^{r}

表示系统未知时变参数向量; 回归向量

ϕ_{i} ({\bar{x}}_{i}) : R^{i} \to R^{r} （ i = 1，2 ）

为已知光滑函数，且满足

ϕ_{i} （ 0 ） = 0 .

对于定义域内的任何

{\bar{x}}_{i} ，

只要

{\bar{x}}_{i}

有界，则

ϕ_{i} ({\bar{x}}_{i})

有界. 系统输出y = x₁满足如下非对称约束:

- ψ_{1} (t) < x_{1} (t) < ψ_{h} (t)

(2)

式中:

ψ_{1} （ t ） : R_{⩾ 0} \to R_{> 0} 和 ψ_{h} （ t ） : R_{⩾ 0} \to R_{> 0}

分别为上、下约束边界，满足二阶可导且有界. 式（2）中的约束函数可根据不同的应用场景设计为非对称时变/定常边界. 在需保证安全性的应用中，如机器人的关节位置需被约束在一定范围内，自动驾驶汽车和前后车保持合理的距离等，可采用定常或时变约束. 而在系统瞬态/稳态响应定量分析中，典型的单调递减预设性能函数

ρ （ t ） = (ρ_{0} - ρ_{\infty}) e^{- α t} + ρ_{\infty}

常备选取.

本文的控制目标是，针对具有非对称输出约束（2）和时变参数θ（t）的非线性系统（1），设计预设时间控制器使得系统状态在预先设定的时间内收敛至零. 此外，当系统输出初始值违反约束条件时，确保系统输出在预先设定的时间内回到约束内. 同时，保证闭环系统是预设时间稳定的且所有信号均有界.

假设 1 参数θ（t）为分段连续时变函数，满足

θ （ t ） \in Θ ， \forall t ⩾ 0 ，

其中Θ为半径已知的紧集 ^[14] .

3 虚拟约束边界和转换函数

3.1 虚拟约束边界

当系统输出初值x₁（0）违反约束时，为避免控制器奇异 ^[26-27]，并且保证系统输出在预设的时间T_v内回到约束内，构造如下虚拟约束边界

ψ_{j v} （ t ） （ j = h ， l ） :

(3)

式中

ψ_{j v}^{0} （ t ） = (ς |x_{1} （ 0 ）| - ψ_{j} （ 0 ）) {(\frac{T_{v} - t}{T_{v}})}^{m}

，

N_{j} = \{\begin{matrix} 1, q x_{1} (0) ⩾ ψ_{j} (0), \\ 0, q x_{1} (0) < ψ_{j} (0), \end{matrix}

(4)

式中:

j = h ， l \Rightarrow q = 1 ， - 1;

正常数T_v为x₁回到约束内的时间上界; 正常数m >2定义了收敛速度; 正常数ς >1，用于避免控制器奇异和初始控制输入过大.

性质 1 当

N_{j} = 1

时，函数ψ_j_v（t）满足:

1）

ψ_{j v} （ t ） > 0 ， \forall t ⩾ 0 ， ψ_{j v} （ t ）

是

C^{2}

有界函数;

ψ_{j v} (0) = ς |x_{1} (0)|, ψ_{j v} (t) = ψ_{j} (t), \forall t ⩾ T_{v} .

注 1 诸如障碍李雅普诺夫函数 ^[15]、漏斗控制 ^[16] 和预设性能控制 ^[17] 等约束控制策略要求系统初值满足约束条件，否则将引发控制器奇异 ^[26-27] . 本文通过构造虚拟约束函数（3）避免了初始时刻控制器奇异的风险. 此外，ψ_j_v（t）会随着时间逐渐逼近ψ_j（t），并最终在T_v与ψ_j（t）重合，保证了x₁在时间T_v回到约束内. 在实际应用中，应根据具体系统的特点和要求来设计虚拟约束边界，以避免在x₁回到约束内的过程中产生过大的控制输入和呈现出强烈的振荡过程. 此外，考虑到测量不确定性可能导致实际值与测量值之间存在偏差，即x₁（0）± ∆x₁（0），应适当增大ς值保证控制策略的有效性.

3.2 转换函数

为了保证x₁满足非对称约束ψ_hv（t）和−ψ_lv（t），定义x₁ = S（η₁，ψ_lv，ψ_hv），其中，η₁是转换变量，

S (η_{1}, ψ_{l v}, ψ_{h v}) = \frac{ψ_{l v} ψ_{h v} e^{η_{1}} - ψ_{l v} ψ_{h v}}{ψ_{l v} e^{η_{1}} + ψ_{h v}},

(5)

转换函数满足

S (η_{1} ， ψ_{l v} ， ψ_{h v}) = 0 \Leftrightarrow η_{1} = 0 .

引理 1 如果

η_{1} \in L_{\infty}

成立，即存在一个正常数

η_{1}^{*}

，使得对于所有的t >0满足

|η_{1} （ t ）| ⩽ η_{1}^{*} ，

则

\begin{matrix} - ψ_{l v} (t) < S (- η_{1}^{*}, ψ_{l v}, ψ_{h v}) ⩽ x_{1} (t) ⩽ \\ S (η_{1}^{*}, ψ_{l v}, ψ_{h v}) < ψ_{h v} (t) \end{matrix}

(6)

证由式（5），

\frac{\partial S}{\partial η_{1}} > 0

以及

|η_{1} （ t ）| ⩽ η_{1}^{*}

可知

S (- η_{1}^{*}, ψ_{l v}, ψ_{h v}) ⩽ x_{1} (t) ⩽ S (η_{1}^{*}, ψ_{l v}, ψ_{h v}),

(7)

- ψ_{l v} < \frac{- ψ_{l v} ψ_{h v}}{ψ_{l v} e^{η_{1}} + ψ_{h v}} < S (η_{1}, ψ_{l v}, ψ_{h v}),

(8)

S (η_{1}, ψ_{l v}, ψ_{h v}) < \frac{ψ_{l v} ψ_{h v}}{ψ_{l v} + ψ_{h v} e^{- η_{1}}} < ψ_{h v}

(9)

因此，结合式（7）–（9）可知，若

η_{1} \in L_{\infty}

，式（6）成立.

证毕.

根据式（5）和

\frac{\partial S}{\partial η_{1}} > 0 ，

转换变量η₁表述为

η_{1} = l n (\frac{ψ_{h v} ψ_{l v} + ψ_{h v} x_{1}}{ψ_{h v} ψ_{l v} - ψ_{l v} x_{1}}) .

(10)

注 2 在预设性能控制 ^[17] 中，非对称性能约束通过

\bar{δ} ρ （ t ）

和

\underline{δ} ρ （ t ）

描述，其中

\bar{δ}

和

\underline{δ}

为边界常数. 然而，该方法难以直接应用于本文所探讨的非对称输出约束ψ_lv（t）和ψ_hv（t）. 因为难以找到合适的函数ρ（t）能够同时满足

δ ρ （ t ） = ψ_{l v} （ t ）

，

\bar{δ} ρ （ t ） = ψ_{h v} （ t ）

以及

η_{1} = 0 \Leftrightarrow x_{1} = 0 .

这对于基于李雅普诺夫函数

V_{η_{1}} = \frac{1}{2} η_{1}^{2}

的预设时间控制方法实现至关重要.

注 3 另一种处理非对称输出约束的方法是使用非对称障碍李雅普诺夫函数 ^[15] . 然而，文献 ^[15] 所构造的障碍李雅普诺夫函数含有不连续函数，为了确保虚拟控制器的可微性，在控制器设计中需要提高x₁的阶次. 这不仅增加了稳定性分析的复杂度，当x₁较大时还会导致过大的控制输入.

引理 2 若

- ψ_{l v} （ t ） < x_{1} （ t ） < ψ_{h v} （ t ） ， \forall t ⩾ 0

恒成立，则存在正常数

c ⩾ m a x \{ψ_{l v} （ t ） ， ψ_{h v} （ t ）\}

使得不等式

|x_{1}| ⩽ c |η_{1}|

成立.

证根据

- ψ_{l v} （ t ） < x_{1} （ t ） < ψ_{h v} （ t ） ， \forall t ⩾ 0

和式（10）可知，x₁ ≥0时

η_{1} ⩾ - l n (1 - \frac{x_{1}}{ψ_{h v}}) ⩾ \frac{x_{1}}{ψ_{h v}} \cdot x_{1} < 0

时

η_{1} < l n (1 + \frac{x_{1}}{ψ_{l v}}) < \frac{x_{1}}{ψ_{l v}} .

因此，

|x_{1}| ⩽ c |η_{1}| .

证毕.

根据式（10），η₁关于时间t的导数为

{\dot{η}}_{1} = ϑ ({\dot{x}}_{1} - γ x_{1}),

(11)

式中:

ϑ = \frac{ψ_{l v} + ψ_{h v}}{(ψ_{l v} + x_{1}) (ψ_{h v} - x_{1})} ， γ = γ_{1} - γ_{2} x_{1} ， γ_{1} = \frac{ψ_{h v}^{2} {\dot{ψ}}_{l v} + ψ_{l v}^{2} {\dot{ψ}}_{h v}}{ψ_{l v} ψ_{h v} (ψ_{l v} + ψ_{h v})} ， γ_{2} = \frac{ψ_{h v} {\dot{ψ}}_{l v} - ψ_{l v} {\dot{ψ}}_{h v}}{ψ_{l v} ψ_{h v} (ψ_{l v} + ψ_{h v})}

4 预设时间控制器设计

首先定义预设时间调节函数µ（t），即

μ (t) = \frac{1}{T_{p} - t}, 0 ⩽ t < T_{p}

(12)

式中T_p是预设的系统状态收敛至零的时间上界.

注 4 T_v和T_p具有不同作用，两者均可根据实际工况进行预先设定. 其中，T_v为系统输出回到约束内的时间上界，而T_p表示系统状态收敛至零的时间上界.

步骤 1 定义η₂ = x₂ − α₁，其中α₁为虚拟控制信号. 结合式（1）（11），η₁关于时间t的导数为

{\dot{η}}_{1} = ϑ (η_{2} + ϕ_{1}^{T} θ + α_{1} - γ x_{1}) .

(13)

受变量凝聚法 ^[14] 的启发，构建李雅普诺夫函数

V_{1} = V_{η_{1}} + V_{θ} ， V_{η_{1}}

和

V_{θ}

的表达式如下:

V_{η_{1}} = \frac{1}{2} η_{1}^{2}, V_{θ} = \frac{1}{2} {(λ_{θ} - \hat{θ})}^{T} Γ^{- 1} (λ_{θ} - \hat{θ}),

(14)

式中: Γ是正定对角矩阵; λ_θ是常数向量，视为θ（t）的平均值且未知，仅用于理论分析.

结合式（13），V₁关于时间t的导数为

\begin{matrix} {\dot{V}}_{1} = η_{1} ϑ (η_{2} + α_{1} + ϕ_{1}^{T} (λ_{θ} - \hat{θ}) - γ x_{1} + \\ ϕ_{1}^{T} Δ_{θ} + ϕ_{1}^{T} \hat{θ}) - {(λ_{θ} - \hat{θ})}^{T} Γ^{- 1} \dot{\hat{θ}}, \end{matrix}

(15)

式中:

Δ_{θ} = θ - λ_{θ} ，

且

|Δ_{θ}| ⩽ δ ， δ

表示Θ的半径. 根据Hadamard引理 ^[29] 和ϕ₁（0）= 0，将回归向量分解为 ϕ₁（x₁）= Φ₁（x₁）x₁，其中Φ₁（x₁）为光滑映射. 此外，根据引理2和杨氏不等式，

η_{1} ϕ_{1}^{T} Δ_{θ}

满足不等式

η_{1} ϕ_{1}^{T} Δ_{θ} ⩽ \frac{c δ}{2} Φ_{1}^{T} Φ_{1} η_{1}^{2} + \frac{c δ}{2} η_{1}^{2} .

进一步，设计虚拟控制信号

α_{1} \in R :

α_{1} = - k_{1} μ ϑ^{- 1} η_{1} - I_{1} η_{1} - ϕ_{1}^{T} \hat{θ} + γ x_{1},

(16)

式中:

I_{1} = \frac{1}{2} (c δ Φ_{1}^{T} Φ_{1} + c δ + ϑ^{- 1} δ ϱ_{2}); k_{1}

和

ϱ_{2}

为正常数，满足k₁ >2.

将式（16）代入式（15）可得

\begin{matrix} {\dot{V}}_{1} ⩽ - k_{1} μ η_{1}^{2} + η_{1} ϑ η_{2} - \frac{δ ϱ_{2}}{2} η_{1}^{2} + \\ {(λ_{θ} - \hat{θ})}^{T} Γ^{- 1} (ξ_{1} - \dot{\hat{θ}}) \end{matrix}

(17)

式中调谐函数

ξ_{1} = η_{1} ϑ Γ ϕ_{1}

此外，将式（16）代入式（13）可得

{\dot{η}}_{1} = - k_{1} μ η_{1} + Δ_{1},

(18)

式中

Δ_{1} = ϑ (η_{2} + ϕ_{1}^{T} （ θ - \hat{θ} ） - I_{1} η_{1}) .

步骤 2 定义

ω_{2} = ϕ_{2} - ϕ_{1} \frac{\partial α_{1}}{\partial x_{1}} ， η_{2}

关于时间t的导数为

{\dot{η}}_{2} = u - \frac{\partial α_{1}}{\partial t} - {(\frac{\partial α_{1}}{\partial \hat{θ}})}^{T} \dot{\hat{θ}} - \frac{\partial α_{1}}{\partial x_{1}} x_{2} + ω_{2}^{T} θ .

(19)

构建李雅普诺夫函数

V = V_{1} + V_{η_{2}} ， V_{η_{2}} = \frac{1}{2} η_{2}^{2}

.李雅普诺夫函数V 关于时间t的导数为

\begin{matrix} \dot{V} ⩽ - k_{1} μ η_{1}^{2} - \frac{δ ϱ_{2}}{2} η_{1}^{2} + η_{2} (u + ω_{2}^{T} Δ_{θ} + L) + \\ {(λ_{θ} - \hat{θ})}^{T} Γ^{- 1} (ξ_{2} - \dot{\hat{θ}}) \end{matrix}

(20)

式中:

L = ϑ η_{1} + ω_{2}^{T} \hat{θ} - {(\frac{\partial α_{1}}{\partial \hat{θ}})}^{T} \dot{\hat{θ}} - \frac{\partial α_{1}}{\partial t} - \frac{\partial α_{1}}{\partial x_{1}} x_{2}

，调谐函数

ξ_{2} = ξ_{1} + Γ ω_{2} η_{2} .

根据Hadamard引理 ^[29] 和ϕ₂（0）= 0，可将回归向量

ϕ_{2} ({\bar{x}}_{2})

分解为

ϕ_{2} ({\bar{x}}_{2}) = Φ_{21} ({\bar{x}}_{2}) x_{1} + Φ_{22} ({\bar{x}}_{2}) x_{2} ，

其中

Φ_{21} ({\bar{x}}_{2})

和

Φ_{22} ({\bar{x}}_{2})

均为光滑映射. 定义变量

ω_{21} = Φ_{21} - Φ_{1} \frac{\partial α_{1}}{\partial x_{1}} ，

借助引理 2、杨氏不等式以及x₂ =

η_{2} + α_{1} ， η_{2} ω_{2}^{T} Δ_{θ}

满足如下不等式条件:

η_{2} ω_{2}^{T} Δ_{θ} ⩽ I_{2} η_{2}^{2} + \frac{δ ϱ_{2}}{2} η_{1}^{2} + \frac{k_{1} μ ϱ_{3}}{2} η_{1}^{2},

(21)

式中:

I_{2} = \frac{δ Φ_{22}^{T} Φ_{22}}{2 ϱ_{1}} + \frac{δ ϱ_{1}}{2} + \frac{δ χ^{2}}{2 ϱ_{2}} + \frac{δ^{2} Φ_{22}^{T} Φ_{22}}{2 ϱ_{3} ϑ^{2}} k_{1} μ ， χ = c ‖ω_{21} - Φ_{1} {\hat{θ}}^{T} Φ_{22} + γ Φ_{22}‖ + ‖Φ_{22} I_{1}‖ ， ϱ_{1} ， ϱ_{2} ， ϱ_{3}

为正常数，满足

0 < ϱ_{3} < 2

进一步，设计系统控制信号

u \in R :

(22)

式中:

k_{2} > 1

为正常数，自适应律

\dot{\hat{θ}} \in R

设计为

\dot{\hat{θ}} = \{\begin{matrix} ξ_{2}, \forall t \in [0, T_{p}), \\ 0, \forall t \in [T_{p}, \infty) . \end{matrix}

(23)

将式（22）–（23）代入式（19）–（20）可得

\dot{V} ⩽ - \frac{2 k_{1} - k_{1} ϱ_{3}}{2} μ η_{1}^{2} - k_{2} μ η_{2}^{2},

(24)

{\dot{η}}_{2} = - k_{2} μ η_{2} - I_{2} η_{2} + Δ_{2},

(25)

式中

Δ_{2} = - ϑ η_{1} + ω_{2}^{T} （ θ - \hat{θ} ）

5 稳定性分析

定理 1 考虑非线性系统（1）和假设1，使用控制器（22）和自适应律（23），则

1）系统输出x₁满足如下约束:

\begin{matrix} - ψ_{l v} (t) < x_{1} (t) < ψ_{h v} (t), \forall t \in [0, T_{v}) \\ - ψ_{1} (t) < x_{1} (t) < ψ_{h} (t), \forall t \in [T_{v}, \infty) \end{matrix}

2）对于

i = 1，2 ， x_{i} （ t ） = 0 ， \forall t \in [T_{p} ， \infty) ，

且闭环系统的所有信号均有界.

证证明主要分为两部分: 第1部分证明闭环系统状态在预先设定的时间内收敛至零; 第2部分证明闭环系统的有界性，并将这一结论推广至终端时间之后.

1）由

x_{1} （ 0 ） ， x_{2} （ 0 ） ， \hat{θ} （ 0 ） V_{η_{1}} （ 0 ） ， V_{θ} （ 0 ） ， V_{η_{2}} （ 0 ） ， V （ 0 ） \in L_{\infty} .

此外，根据式（24）可得

\dot{V} ⩽ - \underline{k} μ (t) (V_{η_{1}} + V_{η_{2}}),

(26)

式中

\underline{k} = m i n \{(2 - ϱ_{3}) k_{1} ， 2 k_{2}\} .

根据

0 < ϱ_{3} < 2

和式（26）可得

V （ t ） ⩽ V （ 0 ） ， \forall t \in [0 ， T_{p}) .

因此，对于所有的

t \in [0 ， T_{p}) ， η_{1} （ t ） ， η_{2} （ t ）

和

\hat{θ} （ t ）

始终有界，且存在正常数

η_{1}^{*} = \sqrt{2 V （ 0 ）}

使得

|η_{1} （ t ）| ⩽ η_{1}^{*} ， \forall t \in [0 ， T_{p}) .

因此，根据引理1，可得

- ψ_{l v} （ t ） < x_{1} （ t ） < ψ_{h v} （ t ） .

对式（26）两侧积分可得

\int_{0}^{T_{p}} \underline{k} μ (V_{η_{1}} + V_{η_{2}}) d τ ⩽ V (0) - V (T_{p}^{-})

(27)

式中

V （ 0 ） - V (T_{p}^{-})

是一个正常数. 因此，反常积分

\int_{0}^{T_{p}} \underline{k} μ (V_{η_{1}} + V_{η_{2}}) d τ

是有界的. 下面运用反证法证明

V_{η_{1}}

和

V_{η_{2}}

在预先设定的时间T_p内收敛至零 ^[10] .

假设

\underset{t \to T_{p}}{l i m} V_{η_{1}} （ t ） + V_{η_{2}} （ t ） = ϵ \neq 0 ， ϵ

是一个正常数，那么，

\underset{t \to T_{p}}{l i m} (T_{p} - t) \underline{k} μ (V_{η_{1}} + V_{η_{2}}) = \underline{k} ϵ > 0

. 若假设成立，反常积分

\int_{0}^{T_{p}} \underline{k} μ (V_{η_{1}} + V_{η_{2}}) d τ

发散，与式（27）相矛盾. 因此，

\begin{matrix} \underset{t \to T_{p}}{l i m} V_{η_{1}} (t) + V_{η_{2}} (t) = 0 \\ \underset{t \to T_{p}}{l i m} V_{η_{i}} (t) = 0, \underset{t \to T_{p}}{l i m} η_{i} (t) = 0, i = 1, 2 \end{matrix}

根据

η_{1} = 0 \Leftrightarrow x_{1} = 0

可得

\underset{t \to T_{p}}{l i m} x_{1} （ t ） = 0

2）在区间[0，T_p）求解式（18）可得

η_{1} (t) = η_{1} (0) {(\frac{T_{p} - t}{T_{p}})}^{k_{1}} + \int_{0}^{t} \frac{{(T_{p} - t)}^{k_{1}} Δ_{1} (τ)}{{(T_{p} - τ)}^{k_{1}}} d τ

(28)

对于0 < j <k₁，j是一个正常数，由式（28）可得

\underset{t \to T_{p}}{l i m} \frac{η_{1}}{{(T_{p} - t)}^{j}} = \underset{t \to T_{p}}{l i m} \frac{Δ_{1} (t)}{(j - k_{1}) {(T_{p} - t)}^{j - 1}}

(29)

定义

ω （ t ） = e^{- \int_{0}^{t} I_{2} d τ} ，

在[0，T_p）求解式（25）可得

\begin{matrix} η_{2} (t) = η_{2} (0) {(\frac{T_{p} - t}{T_{p}})}^{k_{2}} ϖ (t) + \\ {(T_{p} - t)}^{k_{2}} ϖ (t) \int_{0}^{t} \frac{Δ_{2} (τ)}{{(T_{p} - τ)}^{k_{2}} ϖ (τ)} d τ \end{matrix}

(30)

由

I_{2} （ t ） ⩾ 0 ， \forall t \in [0 ， T_{p})

可知

ϖ （ t ） ⩽ 1 ， \forall t \in [0 ， T_{p}) .

因此，对于0 <j <k₂，j是一个正常数，可得

\begin{matrix} \underset{t \to T_{p}}{l i m} \frac{η_{2}}{{(T_{p} - t)}^{j}} = \\ \underset{t \to T_{p}}{l i m} \frac{Δ_{2} (t)}{{(T_{p} - t)}^{j - 1} (k_{2} - j + (T_{p} - t) I_{2} (t))} . \end{matrix}

(31)

基于上述结果，闭环系统的有界性分析如下:

根据

|η_{1} （ t ）| ⩽ η_{1}^{*}

可知，存在正常数

\underline{ϑ} =

和

\bar{ϑ}

使得对于所有的

t \in [0 ， T_{p}) ，

不等式

0 < \underline{ϑ} ⩽ ϑ ⩽ \bar{ϑ}

成立. 此外，根据

\underset{t \to T_{P}}{l i m} x_{1} （ t ） = 0 ， \underset{t \to T_{P}}{l i m} η_{i} （ t ） = 0 ， i = 1，2 ，

∆₁和∆₂ 的表达式以及式（29）（31）可得

\begin{matrix} \underset{t \to T_{p}}{l i m} Δ_{1} = 0 \Rightarrow \underset{t \to T_{p}}{l i m} \frac{η_{1}}{T_{p} - t} = 0 \Rightarrow \underset{t \to T_{p}}{l i m} α_{1} = 0 \Rightarrow \\ \underset{t \to T_{p}}{l i m} x_{2} = 0, \underset{t \to T_{p}}{l i m} ϕ_{2} = 0 \Rightarrow \underset{t \to T_{p}}{l i m} Δ_{2} = 0 \Rightarrow \\ \underset{t \to T_{p}}{l i m} \frac{η_{2}}{T_{p} - t} = 0 \Rightarrow \underset{t \to T_{p}}{l i m} \frac{Δ_{1}}{T_{p} - t} = 0 \Rightarrow \\ \underset{t \to T_{p}}{l i m} \frac{η_{1}}{{(T_{p} - t)}^{2}} = 0 \Rightarrow \underset{t \to T_{p}}{l i m} \dot{\hat{θ}} (t) = 0, \underset{t \to T_{p}}{l i m} u (t) = 0 . \end{matrix}

因此，对于所有的t >0，u（t）是有界且连续的. 此外，由x₁（t）和x₂（t）的连续性和u（t）= 0，∀t >T_p可知，x₁（t）= x₂（t）= 0，∀t >T_p. 证毕.

注 5 控制器（22）主要由预设时间反馈增益−k₁_µ，−k₂_µ、非线性反馈增益

- I_{1} ， - I_{2}

和补偿项

L

构成. 其中，如式（28）（30）所示，预设时间反馈增益用于调控系统收敛时间，且T_p严格限制着系统收敛时间. 非线性反馈增益用于补偿时变扰动项∆θ = θ − λ_θ，以消除时变参数对系统性能的影响. 自适应律

\dot{\hat{θ}}

类似于经典反步法自适应律的设计，以常数λ_θ替代时变参数θ（t）.

L

用于补偿非线性动态. 此外，所提出的控制器能够保证当时间t趋于T_p时，信号

x_{1} ， x_{2} ， \dot{\hat{θ}} ， u

都收敛到零. 因此，所提出的控制器对于零到无穷区间完全有效.

注 6 控制方案中的参数可分为两类: 一类是虚拟约束边界参数

T_{v} > 0 ， ς > 1 ， m > 2

用于调节系统输出返回约束的时间上界和动态特性，如注1和4所述; 另一类是控制器参数

T_{p} > 0 ， k_{1} > 2 ， k_{2} > 1 ， c ， δ ， Γ > 0 ， \hat{θ} （ 0 ） ， ϱ_{1} > 0 ， ϱ_{2} > 00 < ϱ_{3} < 2 .

其中，T_p严格限制着系统收敛时间. 理论上可以在满足条件下任意地选择这些参数，且收敛时间严格不超过预设值T_p. 但在实际应用中，参数选择需要在收敛速度与控制输入之间进行权衡. 具体而言，预设时间调节函数反馈增益和非线性反馈增益，与收敛速度和控制输入成比例，这两项包含参数

k_{1} ， k_{2} ， δ ， c ， ϱ_{1} ， ϱ_{2} ， ϱ_{3} .

如式（28）（30）所示，增大参数

k_{1} ， k_{2} ， δ ， c

可以提高收敛速度，但会增大控制输入; 参数

ϱ_{1} ， ϱ_{2} ， ϱ_{3}

用来调节

I_{1} ， I_{2}

的大小. 在实际调参过程中应在确定收敛时间T_p和T_v的前提下对其他参数进行微调.

推论 1 考虑非线性系统（1）、假设1以及时变函数

μ （ t ） \equiv 1 ， \forall t ⩾ 0 ，

使用自适应律

\dot{\hat{θ}} = ξ_{2} ， \forall t ⩾ 0

和控制律

u = - (k_{2} μ + I_{2}) η_{2} - L ， \forall t ⩾ 0 ，

则

1）系统输出x₁满足如下约束:

\begin{matrix} - ψ_{l v} (t) < x_{1} (t) < ψ_{h v} (t), \forall t \in [0, T_{v}), \\ - ψ_{1} (t) < x_{1} (t) < ψ_{h} (t), \forall t \in [T_{v}, \infty); \end{matrix}

2）非线性系统（1）是渐近稳定的，即对于i = 1，2，

\underset{t \to \infty}{l i m} x_{i} （ t ） = 0 ，

且闭环系统的所有信号均有界.

与定理1的证明类似，通过代入

μ （ t ） \equiv 1 ，

并引用 Barbalat引理即可得出推论1. 此处不再赘述.

6 仿真验证

案例 1 考虑以下具有参数不确定性的单连杆机械臂系统 ^[30]，其动力学为

\{\begin{array}{l} {\dot{x}}_{1} = x_{2}, \\ {\dot{x}}_{2} = ϕ^{T} ({\bar{x}}_{2}) θ (t) - \frac{1}{2} m g l \cos x_{1} + \frac{1}{I} u, \\ y = x_{1}, \end{array}

(32)

式中:

ϕ^{T} ({\bar{x}}_{2}) = [\begin{matrix} x_{1} x_{2} \end{matrix}] ， x_{1}

和x₂分别表示角位置和角速度; u为输入力矩; m，I，g和l分别表示质量、转动惯量、重力加速度和臂长;

θ （ t ） = {[\begin{matrix} θ_{1} （ t ） θ_{2} （ t ） \end{matrix}]}^{T} ， θ_{1} （ t ） = - \frac{F_{1} （ t ）}{I} ， θ_{2} （ t ） = - \frac{F （ t ）}{I}

其中F（t）表示未知时变摩擦系数，F₁（t）x₁是外部力矩. 这些参数设置为:I = 1.0，g = 9.81，l = 1，θ₁（t）=− cos（0.3t），θ₂（t）= 0.3 sin（0.3t）+0.2 cos（0.2t）. 约束边界函数为ψ_h = 0.3+0.05 sin（2t）和ψ_l = 0.2+0.03 sin t. 遵循本文所提出的控制方案，对于t∈[0，T_p），u=−（k₂_µ+I₂）η₂−

L + \frac{1}{2} m g l c o s x_{1} ， \dot{\hat{θ}} = ξ_{2} .

对于

t ⩾ T_{p} ， u = \frac{1}{2} m g l c o s x_{1} ， \dot{\hat{θ}} = 0 . \dot{\hat{θ}} = 0 . [0.1]_{2 \times 2} ， ϱ_{1} = ϱ_{2} = ϱ_{3} = 1 ， {\hat{θ}}_{1} （ 0 ） = {\hat{θ}}_{2} （ 0 ） = 0

表1仿真参数和收敛时间

Table1Simulation parameters and convergence time

仿真结果如图1所示. 在非对称时变约束边界存在波动的情况下，x₁始终满足约束条件并收敛至零. 并且，当x₁在初始时刻违反约束条件时，虚拟约束边界能够避免控制器奇异，并使得x₁在设定的时间T_v内回到约束内. 此外，如表1和图1所示，虽然两种控制器均能保证系统状态收敛至零，但其动态性能存在显著差异. 对于任意系统初值，预设时间控制器都能在预先设定的时间T_p内将系统状态调节到零. 这一特性极大简化了收敛时间的调控过程. 而渐近稳定的收敛时间则同时受系统初值和控制增益的影响. 在大初值，小增益时超调明显且收敛缓慢（情况（a）），通过减小系统初值并增大增益可加快收敛速度. 此外，控制输入始终保持有界，这进一步验证了理论推导的正确性.

案例 2 考虑非线性系统（1），其中:

ϕ_{1} ({\bar{x}}_{1}) = x_{1} ， ϕ_{2} ({\bar{x}}_{2}) = x_{2}^{2}; θ （ t ） = θ_{c} + θ_{t} （ t ）

为系统参数，在区间 [−0.5，1.5]演化，θ_c为定常参数，θ_t（t）为时变参数; 系统初值为x₁（0）= 0.5，x₂（0）= 0.2; 约束边界为ψ_h= 0.2 + 0.05 sin（4t），ψ_l = 0.2 + 0.05 sin（2t）. 考虑两种情况: a）参数θ（t）恒定，即θ（t）= 0.5; b）参数θ（t）为时变参数，即θ（t）= 0.5 + sin（2t）.

在仿真中，考虑两个预设时间控制器进行对比仿真. 两个控制器的公共参数所设置的值一致，且收敛时间常数均设定为T_p = 1.5. 控制器1是文献 ^[10] 中针对含有未知定常参数的非线性系统设计的自适应预设时间控制器，控制器参数设定为Γ = 0.1，

\hat{θ}

（0）= 0，k₁ = 3，k₂ = 2.5; 控制器2，如本文所提出的式（22）–（23），控制器参数设定为T_v = 1，ς = 1.3，m = 3，c = 0.7，δ = 1，Γ = 0.1，

\hat{θ}

（0）= 0，ϱ₁ = ϱ₂ = ϱ₃ = 1，k₁ = 3，k₂ = 2.5.

图1不同初始条件下系统状态x₁（t）和控制输入u（t）的响应

Fig.1Responses of system state x₁ (t) and control input u (t) under different initial conditions

仿真结果如图2所示. 本文提出的控制器不仅能够保证系统输出满足非对称约束，而且在初始约束违反时，能够保证系统输出在设定的时间内回到约束内. 这是控制器1所不具备的. 此外，如图2所示，两种控制器在定常参数和时变参数情况下，均能实现预设时间收敛. 但在时变参数的影响下，控制器1的系统响应性能明显退化. 而本文提出的控制器仍能保持与定常参数情况下相当的动态性能. 这些结果表明，本文所提出的自适应预设时间控制器能够有效应对具有非对称输出约束和时变参数的非线性系统控制问题.

图2系统状态x₁（t）和控制输入u（t）的响应

Fig.2Responses of system state x₁ (t) and control input u (t)

7 结论

本文针对一类具有非对称输出约束和时变参数的非线性系统，提出了一种预设时间控制策略. 所设计的控制器通过构造动态虚拟约束边界和非对称转换函数，解决了初始约束违反导致的控制器奇异和非对称输出约束问题，并确保系统输出在预设时间内恢复至约束范围内. 此外，利用基于变量凝聚法的反步技术和预设时间调节函数，实现了系统状态在预设的时间内收敛至零，并有效抑制了时变参数对系统性能的影响. 未来研究将进一步研究多输入多输出系统的非对称约束预设时间控制问题，并探索基于机器学习的参数自适应律优化，以增强其在复杂工况下的适用性.

图1不同初始条件下系统状态x₁（t）和控制输入u（t）的响应

Fig.1Responses of system state x₁ (t) and control input u (t) under different initial conditions

下载: 全尺寸图片

图2系统状态x₁（t）和控制输入u（t）的响应

Fig.2Responses of system state x₁ (t) and control input u (t)

下载: 全尺寸图片

表1仿真参数和收敛时间

Table1Simulation parameters and convergence time

下载: 全尺寸图片

图1不同初始条件下系统状态x₁（t）和控制输入u（t）的响应

Fig.1Responses of system state x₁ (t) and control input u (t) under different initial conditions

图2系统状态x₁（t）和控制输入u（t）的响应

Fig.2Responses of system state x₁ (t) and control input u (t)

表1仿真参数和收敛时间

Table1Simulation parameters and convergence time

图(2) / 表(1)

引用本文

杨航, 黄英博, 李光, 等. 具有非对称输出约束的非线性系统预设时间控制. 控制理论与应用, 2026, 43(1): 22 – 29

复制

YANG Hang, HUANG Yingbo, LI Guang, et al. Prescribed-time control for nonlinear systems with asymmetric output constraints. Control Theory & Applications, 2026, 43(1): 22 – 29

Copy

计量

图1不同初始条件下系统状态x₁（t）和控制输入u（t）的响应

Fig.1Responses of system state x₁ (t) and control input u (t) under different initial conditions

图2系统状态x₁（t）和控制输入u（t）的响应

Fig.2Responses of system state x₁ (t) and control input u (t)

表1仿真参数和收敛时间

Table1Simulation parameters and convergence time

BHAT S P, BERNSTEIN D S. Finite-time stability of continuous autonomous systems. SIAM Journal on Control and Optimization,2000,38(3):751-766.

FENG Y, YU X, MAN Z. Non-singular terminal sliding mode control of rigid manipulators. Automatica,2002,38(12):2159-2167.

BHAT S P, BERNSTEIN D S. Geometric homogeneity with applications to finite-time stability. Mathematics of Control, Signals and Systems,2005,17:101-127.

HUANG X, LIN W, YANG B. Global finite-time stabilization of a class of uncertain nonlinear systems. Automatica,2005,41(5):881-888.

POLYAKOV A. Nonlinear feedback design for fixed-time stabilization of linear control systems. IEEE Transactions on Automatic Control,2011,57(8):2106-2110.

POLYAKOV A, EFIMOV D, PERRUQETTI W. Finite-time and fixed-time stabilization: Implicit Lyapunov function approach. Automatica,2015,51:332-340.

RODERICK W R T, CUTKOSKY M R, LENTINK D. Bird-inspired dynamic grasping and perching in arboreal environments. Science Robotics,2021,6(61):eabj7562.

SONG Y, WANG Y, HOLLOWAY J,et al. Time-varying feedback for regulation of normal-form nonlinear systems in prescribed finite time. Automatica,2017,83:243-251.

KRISHNAMURTHY P, KHORRAMI F, KRSTIC M. A dynamic high-gain design for prescribed-time regulation of nonlinear systems. Automatica,2020,115:108860.

HUA C, NING P, LI K. Adaptive prescribed-time control for a class of uncertain nonlinear systems. IEEE Transactions on Automatic Control,2021,67(11):6159-6166.

ANDRIEVSKY B, KUDRYASHOVA E V, KUZNETSOV N V,et al. Aircraft wing rock oscillations suppression by simple adaptive control. Aerospace Science and Technology,2020,105:106049.

OH S Y, CHOI H L. Robust control for nonlinear systems with uncertain time-varying parameters coupled with non-triangular terms. International Journal of Systems Science,2020,51(3):507-521.

LI Y X. Command filter adaptive asymptotic tracking of uncertain nonlinear systems with time-varying parameters and disturbances. IEEE Transactions on Automatic Control,2021,67(6):2973-2980.

CHEN K, ASTOLFI A. Adaptive control for systems with timevarying parameters. IEEE Transactions on Automatic Control,2020,66(5):1986-2001.

TEE K P, REN B, GE S S. Control of nonlinear systems with timevarying output constraints. Automatica,2011,47(11):2511-2516.

BERGER T, LEH H, REIS T. Funnel control for nonlinear systems ˆ with known strict relative degree. Automatica,2018,87:345-357.

BECHLIOULIS C P, ROVITHAKIS G A. A low-complexity global approximation-free control scheme with prescribed performance for unknown pure feedback systems. Automatica,2014,50(4):1217-1226.

ZHANG J X, WANG Q G, DING W. Global output-feedback prescribed performance control of nonlinear systems with unknown virtual control coefficients. IEEE Transactions on Automatic Control,2021,67(12):6904-6911.

DIMANIDIS I S, BECHLIOULIS C P, ROVITHAKIS G A. Output feedback approximation-free prescribed performance tracking control for uncertain MIMO nonlinear systems. IEEE Transactions on Automatic Control,2020,65(12):5058-5069.

BU X, LUO R. Attitude control with discrete-time prescribed performance for seeker stabilized platform via event-triggered neural approximation. IEEE Transactions on Industrial Informatics,2025,21(2):1853-1861.

ZHAO K, CHEN L, CHEN C L P. Event-based adaptive neural control of nonlinear systems with deferred constraint. IEEE Transactions on Systems, Man,and Cybernetics: Systems,2022,52(10):6273-6282.

MEHDIFAR F, BECHLIOULIS C P, DIMAROGONAS D V. Funnel control under hard and soft output constraints. IEEE 61st Conference on Decision. Cancun, Mexico, USA: IEEE,2022:4473-4478.

ZHANG C, NA J, WU J,et al. Proportional-integral approximationfree control of robotic systems with unknown dynamics. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics,2020,26(4):2226-2236.

YANG H, LI C, HUANG Y,et al. Asymptotic prescribed outputfeedback control for nonlinear robotic systems. IEEE Transactions on Industrial Electronics,2024,71(12):16430-16440.

CHEN C C, SUN Z Y. Output feedback finite-time stabilization for high-order planar systems with an output constraint. Automatica,2020,114:108843.

ZHANG C, REN X, NA J,et al. Safe dual-layer nested adaptive prescribed performance control of nonlinear systems with discontinuous reference. IEEE Transactions on Industrial Electronics,2024,71(8):9128-9138.

BU X, LV M, LEI H,et al. Fuzzy neural pseudo control with prescribed performance for waverider vehicles: A fragility-avoidance approach. IEEE Transactions on Cybernetics,2023,53(8):4986-4999.

FOTIADIS F, ROVITHAKIS G A. Input-constrained prescribed performance control for high-order MIMO uncertain nonlinear systems via reference modification. IEEE Transactions on Automatic Control,2024,69(5):3301-3308.

NESTRUEV J, BOCHAROV A V, DUZHIN S. Smooth Manifolds and Observables. New York: Springer,2003.

MARINO R, TOMEI P. An adaptive output feedback control for a class of nonlinear systems with time-varying parameters. IEEE Transactions on Automatic Control,1999,44(11):2190-2194.