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复印机碳粉供应系统鲁棒模型预测控制

doi: 10.7641/CTA.2024.30832

方勇^1,2 ，王泉¹ ，杜军朝¹ ，闫昱晓² ，袁志毅²

1. 西安电子科技大学计算机科学与技术学院, 陕西西安 710126

2. 中船汉光科技股份有限公司, 河北邯郸 056000

基金项目: 国家自然科学基金项目(61972302), 陕西省重点技术研发计划基金项目(2021ZDLGY07–01), 河北省三三三人才工程资助项目(C20231172)资助.

详细信息

作者简介

方勇博士研究生,目前研究方向为光电系统控制、计算机输入输出技术与设备,E-mail: fangyong2020@stu.xidian.edu.cn;

王泉教授,博士生导师,目前研究方向为计算机输入输出技术与设备、分布式实时仿真技术,E-mail: qwang@xidian.edu.cn;

杜军朝教授,博士生导师,目前研究方向为大数据与物联网技术、深度学习算法优化技术,E-mail: dujz@xidian.edu.cn;

闫昱晓硕士研究生,目前研究方向为智能控制及应用,E-mail: yanyuxiao125@163.com;

袁志毅正高级工程师,目前研究方向为机电一体化,E-mail: yzyzhl2000@163.com.

通信作者

王泉,E-mail: qwang@xidian.edu.cn;Tel.:+8629-88201062.

Robust model predictive control of copier toner supply system

FANG Yong^1,2 ， WANG Quan¹ ， DU Jun-zhao¹ ， YAN Yu-xiao² ， YUAN Zhi-yi²

1. School of Computing Science and Technology, Xidian University, Xi’an Shaanxi 710126 , China

2. HG Technologies Co., Ltd., Handan Hebei 056000 , China

Funds: Supported by the National Natural Science Foundation of China (61972302), the Key Research and Development Program of Shaanxi Province (20 21ZDLGY07–01) and the 333 Talents Project of Hebei Province (C20231172).

摘要

维持碳粉浓度稳定以确保印刷质量是复印机工程应用中的关键难题. 为解决复印机碳粉供应控制系统存在的长时滞与不确定性问题, 本文设计了一种基于鲁棒模型预测控制策略. 首先, 采用系统辨识法获得碳粉供应系统物理特性的数学模型; 其次, 针对复印机碳粉供应系统构建鲁棒模型预测控制器, 并引入改进的鲸鱼优化算法对控制器参数进行优化; 最后, 基于控制器代价函数求解最优碳粉补充量, 对系统持续实施在线滚动优化控制. 试验结果显示, 相较于应用广泛的PI控制器, 基于鲁棒模型预测的碳粉供应控制器在执行固定、递增和随机图像覆盖率任务时, 碳粉浓度变化均方根误差分别降低了8.0%, 4.8% 和25.0%, 标准差分别降低了1.4%, 5.4%和14.4%, 表明该方法可有效降低印刷过程中碳粉浓度变化离散程度, 具有更优越的动态性能控制效果.

关键词

模型预测控制 / 复印机 / 系统辨识 / 碳粉供应 / 鲸鱼优化算法

Abstract

Maintaining the stability of toner concentration to ensure printing quality is a key problem in the engineering application of copiers. In order to solve the problem of long time delay and uncertainty in the toner supply control system of copier, a predictive control strategy based on robust model is designed. Firstly, the mathematical model of the physical characteristics of the toner supply system is obtained by using the system identification method; Then, a robust model predictive controller is designed for the toner supply system of the copier, and an improved whale optimization algorithm (WOA) is introduced to optimize the controller parameters; Finally, the optimal toner supplement is calculated based on the cost function of the controller, and the on-line rolling optimization control of the system is implemented continuously. The experimental results show that compared with the widely used PI controller, the robust model prediction-based toner supply controller has decreased the root-mean-square error of toner concentration change by 8.0%, 4.8% and 25.0%, and the standard deviation by 1.4%, 5.4% and 14.4% in the tasks of fixed, incremental and stochastic image coverage, which indicates that this method can effectively reduce the dispersion of toner concentration in the printing process, and has a better dynamic performance control effect.

Keywords

model predictive control / copier / system identification / toner supply / whale optimization algorithm

1 引言 2 系统辨识 3 碳粉供应系统RMPC控制器 3.1 模型预测控制器设计 3.2 RMPC状态空间模型 3.3 改进鲸鱼优化算法的RMPC参数优化 4 试验与分析 5 结论

1 引言

采用双组份显影剂的复印机，其显影仓内碳粉颗粒与载体（铁磁）颗粒的混合比率―碳粉浓度，会直接影响图像印刷质量 ^[1-2] . 碳粉浓度较低，成像清晰度差，感光鼓等组件损耗加快; 碳粉浓度过高，易形成底灰并污染纸路，缩减复印机使用寿命. 因此，复印机成像过程显影仓内碳粉浓度需保持稳定. 为精确调控碳粉浓度，需要从显影仓结构设计、碳粉浓度测量精度和碳粉浓度控制算法 3个环节进行优化，本文旨在通过改进碳粉供应控制算法，进一步提高设备性能.

目前，复印机相关控制技术均具有一定的保密性，仅有少量资料可用于参考，国内复印机自主研制基础也较为薄弱，鲜有在该领域进行深入的研究 ^[3] . 感光鼓表面静电潜像的单个像素点吸附碳粉量易受环境温湿度、碳粉粒子自身带电量和高压电势误差等因素干扰，无法被精准测算，因此，像素点计数不能作为碳粉供应系统的控制输入量. 实际应用中常见将碳粉浓度作为被控对象反馈变量，但复杂的显影仓结构和成像过程碳粉消耗补充的系统动态特征，导致传感器采样结果易受干扰，且存在时滞问题 ^[4] . PI 调节参数控制等传统方法对此类系统的控制性能较差，难以处理系统动态性能不稳定问题 ^[5] . 文献 ^[6] 针对碳粉供应系统时滞特点，设计了适用于该系统的史密斯预测器和状态反馈估计器，仿真结果显示控制器效果得到提升. 文献 ^[7] 提出一种碳粉寿命惩罚机制，用于平衡碳粉供应与消耗速率关系，该方法可有效提高印刷质量，但也产生了废粉率高的问题. 文献 ^[8] 深入讨论了显影仓内碳粉附着力、摩擦力、带电性能和机械应力等物理因素之间的关系，并建立碳粉状态动态扰动模型，将像素点数量作为前馈信号，提出一种基于状态反馈控制策略，该方法虽然表现出较好效果，但实现过程复杂，难以普及. 鲁棒模型预测控制 ^[9]（robust model predictive control，RMPC）对存在长时滞、不确定性的系统有显著的控制效果，可通过预测未来时间段内的系统响应，解决一些模型难以精确建立、控制对象复杂的系统问题，包括复印机碳粉供应系统.

为提升复印机图像印刷质量，本文构建了与碳粉浓度变化相关的自回归外生变量模型（auto-regressive eXternal model，ARX），设计了一种基于鲁棒模型预测控制策略的碳粉供应系统控制器，并采用混合策略改进的元启发式优化算法确定控制器参数. 最后，利用样机验证了本文研究结果解决工程问题的有效性，表明该方法可有效降低印刷过程中碳粉浓度变化离散程度，维持碳粉浓度稳定.

2 系统辨识

双组份复印机成像过程的载体质量m_c不会被显著消耗，碳粉浓度t_c会随碳粉消耗和补充发生变化. 由碳粉供应系统工作原理，可将该系统定义为具有两个输入端，即碳粉补充量u和碳粉消耗量v，以及一个输出端，即t_c的系统. t_c随时间变化关系可以用离散差分方程形式的质量平衡表达式来描述，即

t_{c} (k + 1) = t_{c} (k) + h [u (k - μ) - v (k)],

(1)

其中: k为系统采样周期计数，k= 1，2，3，· · ·; t_c（k）为第k次采样获取的碳粉浓度有效值、常数值; u表示第k次碳粉补充和消耗过程到引起t_c变化的延迟时间，单位为s; u（k−µ）为第k次采样周期内碳粉补充质量，单位为g; v（k）为第k次采样周期内碳粉消耗质量，单位为 g; h 表示载体和碳粉质量 m_c的比例因子，h =

\frac{1}{m_{c}} .

将复印机像素计数器用于计算碳粉消耗数据v，供粉马达使能时间用于计算碳粉补充数据u，碳粉浓度传感器测量电压值作为碳粉浓度数据t_c（传感器电压值与实际碳粉浓度成反比）. 在复印机执行随机图像覆盖率印刷任务过程中采集数据. 由于成像系统内部螺旋搅拌机构自转与碳粉消耗和补充过程会影响t_c测量值呈现周期性变化，根据系统特征，设置t_c数据采样频率为20 ms，单次采样周期范围为220 ms，且仅将周期内采样峰值作为系统输出数据. 考虑碳粉供应系统复杂的物理特性，将系统辨识方法用于模型建立 ^[10] . 使用MATLAB 2017b系统辨识工具箱对采样数据的输入量和输出量进行解析，构建用于系统辨识的两输入一输出ARX模型表达式为

A (q) t_{c} (k) = B_{1} (q) q^{- μ} u (k) + B_{2} (q) v (k),

(2)

其中: A（q）为分母多项式，B₁（q）和B₂（q）为分子多项式，q为移位算子. 去除用于系统辨识的输入偏移和输出趋势，通过交叉验证法对模型质量进行评估 ^[11] . 经过反复试验，采用最小二乘法辨识最终确定了对测试集输出拟合比率为 68.12%的ARX模型，图1显示了输出信号在时域中的比较结果，系统输出波形的相位和趋势被正确捕获，因此采用了所构建的模型.

图1实际输出与拟合输出对比

Fig.1Comparison between measured output and estimated model output

3 碳粉供应系统RMPC控制器

3.1 模型预测控制器设计

对于单输入单输出的模型预测控制方法 ^[12]，可以推广得到适用于碳粉供应控制系统的多输入单输出模型，图2给出了本系统的模型预测控制结构框图.

图2模型预测控制结构框图

Fig.2Model predictive control structure diagram

建立系统在k时刻的阶跃响应方程为

y_{k} = A_{1} Δ u_{1 k} + A_{2} Δ u_{2 k} + \dots + A_{n} Δ u_{n k} + y_{k}^{p} + d_{k},

(3)

其中:

y_{k}

为系统实际输出状态;

y_{k}^{p}

为系统预测输出状态;

d_{k}

为扰动向量;

Δ u_{k} = [\begin{matrix} Δ u_{1 k} Δ u_{2 k} \dots \end{matrix} {Δ u_{n k}]}^{T}

为控制输入增量. 定义

A = [\begin{matrix} A_{1} A_{2} \dots A_{n} \end{matrix}] ，

本系统通过碳粉补充量控制碳粉浓度达到期望值，给出最小化预测误差e（k）的代价函数

\begin{matrix} \underset{Δ u (k)}{m i n} J = ‖ e (k) ‖ = \\ ‖A Δ U_{k} + y_{k}^{p} + d_{k} - y_{k}^{target}‖, \end{matrix}

(4)

其中:

Δ U_{k} = {[\begin{matrix} Δ u_{k} Δ u_{k + 1} \dots Δ u_{k + m - 1} \end{matrix}]}^{T} ， m

为模型控制域范围， p为模型预测域范围;

y_{k}^{target ，} y_{k}^{target}

为系统在k时刻输出的期望状态. 通过数值优化算法计算得到系统控制输入增量∆uk，由于模型预测控制在实际应用中会受到扰动，经过m个时刻后，系统可能会产生偏差，故仅将求解得到最优控制序列的第1个对象施加给被控系统

Δ u_{k}^{*} = [\begin{matrix} b b \dots b \end{matrix}] Δ u_{k},

(5)

其中b为1 × m的向量，b = [1 0 · · · 0].

3.2 RMPC状态空间模型

由于系统存在不确定扰动误差，RMPC需要建立系统标称预测模型，并通过合理的误差反馈反应其与实际模型之间的差距 ^[13-15] . 将碳粉供应控制系统状态空间方程描述为

\{\begin{array}{l} x (k + 1) = A x (k) + B u (k) + V d (k), \\ z (k) = C x (k), \\ y (k) = z (k) + w (k), \end{array}

(6)

其中:

x （ k ） \in R^{p}

为实际系统状态向量，

u （ k ） \in R^{m}

为实际系统输入向量，

d （ k ） \in R^{m}

为有界扰动向量，

y （ k ） \in R^{p}

为系统测量向量，

z （ k ） \in R^{p}

为系统预测输出向量，

w （ k ） \in R^{m}

为系统预测输入向量. 假设上节中给出的系统可控，且

x （ k ） \in X ， u （ k ） \in U 和 d （ k ） \in D

均为凸集，定义鲁棒不变集S，对于含有有界扰动d（k）的被控对象，存在系统状态反馈增益u（k）=−K_x（k），以至于

x (k) \in S \Rightarrow x (k + 1) \in S, \forall d \in D .

(7)

系统状态和控制满足约束条件S ∈ X，KS ∈ U. 将差分状态向量∆x（k）=x（k）−x（k − 1）和输出向量z（k）定义为新的系统状态

\{\begin{array}{l} \bar{x} (k + 1) = \bar{A} \bar{x} (k) + \bar{B} Δ u (k) + V Δ d (k), \\ z (k) = \bar{C} \bar{x} (k), \\ y (k) = z (k) + w (k), \end{array}

(8)

式中:

对于系统标称预测模型，定义预测状态序列

\begin{matrix} Δ W (k) = \\ {[\begin{matrix} Δ w (k ∣ k) & Δ w (k + 1 ∣ k) & \dots & Δ w (k + m - 1 ∣ k) \end{matrix}]}^{T}, \\ Y (k) = \\ {[\begin{matrix} \hat{y} (k ∣ k) & \hat{y} (k + 1 ∣ k) & \dots & \hat{y} (k + p - 1 ∣ k) \end{matrix}]}^{T} . \end{matrix}

给出系统标称预测模型输出表达式

Y (k ∣ k) = M z (k) + N Δ W (k),

(9)

式中:

\begin{matrix} M = [\begin{matrix} \bar{C} \bar{A} \\ \bar{C} {\bar{A}}^{2} \\ ⋮ \\ \bar{C} {\bar{A}}^{p - 1} \end{matrix}], \\ N = [\begin{matrix} \bar{C} \bar{B} & 0 & \dots & 0 \\ \bar{C} \bar{A} \bar{B} & \bar{C} \bar{B} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ \bar{C} {\bar{A}}^{p - 2} \bar{B} & \bar{C} {\bar{A}}^{p - 3} \bar{B} & \dots & \bar{C} \bar{B} \end{matrix}] . \end{matrix}

RMPC系统的实际模型可表示为标称预测模型叠加反馈项

\begin{matrix} \hat{x} (k + 1 ∣ k) = \bar{A} \hat{x} (k ∣ k - 1) + \bar{B} Δ u (k) + K (y (k) - \\ \bar{C} \hat{x} (k ∣ k - 1)) \end{matrix}

(10)

则系统控制输入计算方式如下:

Δ u (k) = Δ w (k) - K (\bar{C} x (k ∣ k - 1) - y (k)),

(11)

式中的反馈增益系数K可通过文献 ^[6] 提出的状态观测器计算方法得到，并且满足|eig（A − BK）| <1. 定义系统实际模型与预测模型之间的状态误差为

\begin{matrix} e (k + 1) = y (k + 1) - \bar{C} \hat{x} (k + 1 ∣ k) = \\ \bar{A} e (k) - \bar{B} K e (k) + \bar{V} d (k) = \\ (\bar{A} - \bar{B} K) e (k) + \bar{V} d (k) \end{matrix}

(12)

系统实际模型可表示为

\begin{matrix} Y (k + 1 ∣ k) = \\ M \hat{x} (k ∣ k - 1) + N Δ U (k) + S e (k), \end{matrix}

(13)

其中

S = {[\begin{matrix} \bar{C} \bar{C} \bar{A} \dots \bar{C} {\bar{A}}^{p - 2} \end{matrix}]}^{T} ，

给出e（k）的通项

e (k) = \sum_{i = 1}^{k} {\bar{A}}_{K_{1}}^{i - 1} \bar{V} d (k - i),

(14)

其中

{\bar{A}}_{K} = \bar{A} - \bar{B} K .

由于常值矩阵与有界约束集合D 的乘积为常值，因此存在误差上界Γ

e (k) \in \sum_{i = 1}^{k} {\bar{A}}_{K}^{i - 1} \bar{V} D \subset \sum_{i = 1}^{\infty} {\bar{A}}_{K}^{i - 1} \bar{V} D ≜ Γ .

(15)

在不考虑扰动的情况下，系统预测模型在全局范围内指数稳定，误差满足有界约束，所以系统是最终有界的，系统状态误差存在约束

\{\begin{array}{l} z \in Z = X - Γ \\ w \in W = U - K Γ \\ A_{K} z \in Z_{f} \\ u = - K z - K e \in K Z_{f} + K Γ \subset U \end{array}

(16)

其中: Z和W表示实际模型终端状态集合和终端控制集合; Z_f表示名义模型的终端状态不变集，则系统预测范围内的误差可转化为

E (k + 1) = Y (k + 1 ∣ k) - y^{target} (k),

(17)

式中y^target为系统期望状态. 需要优化如下代价函数:

\begin{matrix} J (k) = E^{T} (k + 1) M^{T} Q M E (k + 1) + \\ 2 E^{T} (k + 1) M^{T} Q N E (k + 1) + \\ Δ U^{T} (k) (N^{T} Q N + R) Δ U (k), \end{matrix}

(18)

其中: Q= diag{q，q，· · ·，q}为碳粉浓度误差权值矩阵; R= diag{r，r，· · ·，r}为碳粉补充量权值矩阵. 碳粉补充量最优解可表示为

\begin{matrix} Δ U^{*} (k) = \\ \underset{Δ U (k)}{a r g m i n} J = {\frac{\partial J}{\partial Δ U}|}_{Δ U (k) = Δ U^{*} (k)} = 0 . \end{matrix}

(19)

推导可知控制范围内的最优控制序列∆U^∗（k）计算关系

\begin{matrix} Δ U^{*} (k) = \\ - {(N^{T} Q N + R)}^{- 1} N^{T} Q M E (k) . \end{matrix}

(20)

根据式（5）给出 k 时刻碳粉补充最优控制量u^∗（k）计算关系可知

u^{*} (k) = [\begin{matrix} 1 0 \dots 0 \end{matrix}] Δ U^{*} (k) + u (k - 1) .

(21)

最后，计算采样周期内供粉马达运行时间

t_{m} (k) = \frac{u^{*} (k)}{u_{m a x}},

(22)

其中: u_max表示向显影仓补充碳粉的最大速率，单位为g/s; t_m（k）为采样周期内供粉马达运行时间，单位为s.

为保证实际系统的状态和控制满足约束条件，闭环预测模型的状态控制和终端约束需要满足更小范围的收缩约束，避免系统状态偏离期望值. 碳粉供应系统RMPC控制器在每个新采样周期，通过系统实际 t_c测量值对基于鲁棒模型预测的碳粉补充量进行反馈校正，将求解得到的最优控制量转化为供粉电机使能信号，施加给碳粉供应系统，并在下个采样周期重新预测未来时域范围内系统状态，进行新一轮修正，实现碳粉供应系统在线滚动优化控制.

3.3 改进鲸鱼优化算法的RMPC参数优化

RMPC调参相当于受约束包含多个局部最小值的工程优化问题，本研究采用元启发式算法对RMPC参数进行寻优，用于平衡控制器性能 ^[16-17] . 鲸鱼优化算法 ^[18]（ whale optimization algorithm，WOA）在解决复杂工程优化问题方面具有显著优势，但仍然存在求解精度低、收敛速度慢等问题. 因此，将具有更好全局搜索能力的萤火虫算法 ^[19]（firefly algorithm，FA）个体之间相互吸引规律与鲸鱼狩猎特征结合，建立了一种采用混合策略 ^[20] 改进的萤火虫扰动鲸鱼优化算法（firefly-WOA，FWOA）. 基于两种算法原理，给出FWOA算法执行过程如表1所示，β₁和β₂为融合FA和WOA算法优点的新吸引力相关变量，满足文献 ^[19] 中吸引力函数需具备较慢速度单调递减性，

β_{1} = （ 1 + {e^{r β ‖D^{*}‖})}^{- 1} ， β_{2} = {(1 + e^{r β ‖ D ‖})}^{- 1}

在每轮迭代找到全局最优代理及位置后，利用萤火虫扰动策略再次对最优代理及位置进行更新.

表1萤火虫扰动鲸鱼优化算法

Table1Firefly-whale optimization algorithm

选择文献 ^[18] 中的测试方法对遗传算法（genetic algorithm，GA），粒子群算法（particle swarm optimization，PSO），FA，WOA和FWOA算法性能进行比较. 设置每种算法独立运行100次，每次运行最大迭代次数 t_max = 500，种群规模N = 100. 测试基准函数迭代过程收敛曲线平均结果如图3所示，相比于其他算法，采用新的吸引力相关变量和代理位置更新策略改进的FWOA算法，在多数情况下收敛速度更快，平均收敛值更低，表明改进后的算法性能得到了提升.

图3测试基准问题的收敛曲线

Fig.3Convergence curves of test benchmark problem

RMPC参数优化的适应度函数由系统达到稳定需要的时间和稳态误差组成，利用argmin函数求出预测输出与测试集数据的误差和取最小值时的参数值，适应度函数设置如下:

\begin{matrix} F_{p, m, q, r} (i) = \\ a r g m i n [\sum_{i = 1}^{N} t_{s r} (i) + \\ A H P \sum_{i = 1}^{N} (S i m (i) - G r o u n d (i))^{2}] \end{matrix}

(23)

其中: t_sr表示系统稳态时间，Sim为系统稳态输出，Ground为期望输出参考数据，N为测试集样本数量，AHP为权重值. 为验证改进后的算法在解决工程优化问题方面是否有效，将FA，WOA或FWOA算法用于参数寻优对比. 应用流程如图4所示，利用测试集数据将每次迭代后的p，m，q和r参数值应用到模型中进行计算，从而得到t_sr和Sim，然后计算适应度函数值，确定最优适应度值和参数值，离线获取最优参数后，可以在线执行控制.3种算法参数设置如表2所示，对控制器参数寻优结果如表3所示，FWOA算法获得了最优适应度值，因此，将结果用于控制器参数设置.

图4确定RMPC最优参数

Fig.4Determine the optimal parameters of RMPC

4 试验与分析

试验通过成熟商业复印机原型机与实验室内基于其机械结构研制的复印机样机设备进行. 将原型机碳粉供应控制器、样机碳粉供应PI控制器与样机碳粉供应RMPC控制器系统特性进行对比，设计不同的试验工况，用于验证所提方法的有效性. 图5给出的3种工况，分别对应于在相同、递增和随机图像覆盖率条件下，试验设备印刷100幅测试稿需要的碳粉消耗量.

表2算法参数

Table2Algorithm parameters

表3RMPC参数优化结果

Table3Optimization results of RMPC parameters

图5测试稿碳粉消耗量

Fig.5Toner consumption of test documents

试验结果如图6及表4所示. 图6显示了在3种工况中，原型机控制器输出的t_c值均波动明显，稳定性相对较差. 使用PI控制器的样机，在工况1和工况2中，虽然t_c值出现偏移，但整体较为稳定，误差处于可接受范围内; 在工况3中，由于短时间内图像覆盖率变化较大，PI控制器无法精确控制碳粉补充量，造成t_c值偏离期望值附近. 使用RMPC控制器的样机在3种工况下，t_c 值维持在较为稳定的范围内，且变化幅度较小，虽然碳粉消耗量较大时t_c值略微偏离期望值，但系统精确补充碳粉量，t_c值很快返回到期望值附近.

由表4可以看出，相较于成熟商业复印机原型机碳粉浓度控制器，RMPC控制器系统实际输出t_c值与期望t_c值之间的均方根误差分别降低了11.7%，14.1%和 15.2%，标准差分别降低了10.5%，11.7%和14.1%; 与 PI控制器相比，RMPC 控制器均方根误差分别降低了 8.0%，4.8%和25.0%，标准差分别降低了1.4%，5.4%和 14.4%. 商业复印机原型机控制器存在碳粉浓度控制误差较大，响应时间较久的问题; PI控制器和RMPC 控制器可以较为实时精确的控制所需碳粉补充量，但 RMPC控制器在应对短时间内图像覆盖率变化较大工况时的表现更加优秀.

图6对比试验测量结果

Fig.6Compare the measured results of the test

表4试验输出结果参数

Table4Test output result parameters

5 结论

为了确保复印机图像印刷质量，本文设计了一种碳粉供应系统RMPC控制器，并改进WOA算法用于获取控制器最优参数. 通过设计不同的试验工况，将传统碳粉供应控制器和本文提出的RMPC控制器性能进行对比. 结果表明，RMPC控制器具有更优越的动态性能控制效果，可提高系统在输入变化及负荷扰动下的控制鲁棒性，减少了资源损耗. 但本方法也存在计算成本相对较高，控制效果依赖系统数学模型准确性的不足. 下一步研究工作为复印机碳粉供应系统和显影系统的级联RMPC控制器设计，利用显影系统的图像浓度预测显影过程的碳粉吸附量，通过级联方法进一步提升碳粉供应系统RMPC控制器性能.

图1实际输出与拟合输出对比

Fig.1Comparison between measured output and estimated model output

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图2模型预测控制结构框图

Fig.2Model predictive control structure diagram

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图3测试基准问题的收敛曲线

Fig.3Convergence curves of test benchmark problem

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图4确定RMPC最优参数

Fig.4Determine the optimal parameters of RMPC

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图5测试稿碳粉消耗量

Fig.5Toner consumption of test documents

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图6对比试验测量结果

Fig.6Compare the measured results of the test

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表1萤火虫扰动鲸鱼优化算法

Table1Firefly-whale optimization algorithm

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表2算法参数

Table2Algorithm parameters

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表3RMPC参数优化结果

Table3Optimization results of RMPC parameters

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表4试验输出结果参数

Table4Test output result parameters

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图1实际输出与拟合输出对比

Fig.1Comparison between measured output and estimated model output

图2模型预测控制结构框图

Fig.2Model predictive control structure diagram

图3测试基准问题的收敛曲线

Fig.3Convergence curves of test benchmark problem

图4确定RMPC最优参数

Fig.4Determine the optimal parameters of RMPC

图5测试稿碳粉消耗量

Fig.5Toner consumption of test documents

图6对比试验测量结果

Fig.6Compare the measured results of the test

表1萤火虫扰动鲸鱼优化算法

Table1Firefly-whale optimization algorithm

表2算法参数

Table2Algorithm parameters

表3RMPC参数优化结果

Table3Optimization results of RMPC parameters

表4试验输出结果参数

Table4Test output result parameters

图(6) / 表(4)

引用本文

方勇, 王泉, 杜军朝, 等. 复印机碳粉供应系统鲁棒模型预测控制. 控制理论与应用, 2026, 43(2): 438 – 444

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FANG Yong, WANG Quan, DU Junzhao, et al. Robust model predictive control of copier toner supply system. Control Theory & Applications, 2026, 43(2): 438 – 444

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图1实际输出与拟合输出对比

Fig.1Comparison between measured output and estimated model output

图2模型预测控制结构框图

Fig.2Model predictive control structure diagram

图3测试基准问题的收敛曲线

Fig.3Convergence curves of test benchmark problem

图4确定RMPC最优参数

Fig.4Determine the optimal parameters of RMPC

图5测试稿碳粉消耗量

Fig.5Toner consumption of test documents

图6对比试验测量结果

Fig.6Compare the measured results of the test

表1萤火虫扰动鲸鱼优化算法

Table1Firefly-whale optimization algorithm

表2算法参数

Table2Algorithm parameters

表3RMPC参数优化结果

Table3Optimization results of RMPC parameters

表4试验输出结果参数

Table4Test output result parameters

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